[論文レビュー] Pairwise non-coprimality of triples

Randell Heyman|arXiv (Cornell University)|Sep 22, 2013

Analytic Number Theory Research参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、$H$ 以下の正の整数の三つ組 $(a_1, a_2, a_3)$ で、互いに素でない（つまり、すべての $i \neq j$ に対して $\gcd(a_i, a_j) \neq 1$）ものの数に対する漸近公式を導出する。包含除算法と既知の互いに素なペアおよび三つ組に関する結果を用いて、$\mathcal{N}_3(H) = \rho H^3 + O(H^2 (\log H)^2)$ を確立する。ここで $\rho \approx 0.1742$ であり、これは3つのランダムな正の整数が互いに素でない確率が約17.4%であることを示している。

ABSTRACT

We say that $(a_1,...,a_k)$ is pairwise non-coprime if $\gcd(a_i,a_j) e 1$ for all $1 \le i

研究の動機と目的

• すべての $i \neq j$ に対して $\gcd(a_i, a_j) \neq 1$ を満たす、$1 \leq a_i \leq H$ である三つ組 $(a_1, a_2, a_3)$ の数を数えること。
• 漸近的公式 $\mathcal{N}_3(H)$ を、$H \to \infty$ のときの、このような互いに素でない三つ組の数のための導出すること。
• $m \geq 2$ のとき、$\sum_{n=1}^H (\varphi(n)/n)^m$ の漸近展開における誤差項の上界を提供すること。
• 既知の互いに素な $k$-組に関する結果を、互いに素でない三つ組のケースに拡張すること。

提案手法

• 包含除算法を適用し、$\mathcal{N}_3(H)$ を、少なくとも1組の互いに素なペアを持つ三つ組、2組の互いに素なペアを持つ三つ組、およびすべてのペアが互いに素である三つ組の数の組み合わせとして表現すること。
• 既知の漸近公式を用いる：$\sum_{1 \leq a_1,a_2,a_3 \leq H, \gcd(a_1,a_2)=1} 1 = \frac{H^3}{\zeta(2)} + O(H^2 \log H)$ および $\sum_{\text{すべてのペアが互いに素}} 1 = \vartheta(3)H^3 + O(H^2 (\log H)^2)$。
• 二重の互いに素なペアを持つ和 $\sum_{n \leq H} \varphi(n,H)^2$ を、オイラーのトーティエント関数および関数 $\varphi(n,H) = \sum_{\substack{1 \leq a \leq H \\ (a,n)=1}} 1$ を用いて表現すること。
• 恒等式 $\varphi(n,H) = \frac{H \varphi(n)}{n} + O(2^{\omega(n)})$ を用い、二乗を展開して $\left(\frac{\varphi(n)}{n}\right)^2$ を含む和を導出すること。
• Lemma 2 を適用し、誤差が $O((\log H)^m)$ である漸近展開を提供するものとして、$\sum_{n \leq H} \left(\frac{\varphi(n)}{n}\right)^2$ を評価すること。
• 包含除算法を用いてすべての項を組み合わせ、簡略化して、定数 $\rho$ を含む最終的な漸近公式を導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 互いに素でない三つ組の正の整数の漸近的密度は何か？
• RQ2 包含除算法は、互いに素でない要素を持つ三つ組を数えるためにどのように適用できるか？
• RQ3 $\sum_{n=1}^H (\varphi(n)/n)^2$ の漸近展開における誤差項は何か？
• RQ4 互いに素でない三つ組に用いられた手法は、より高次のタプルに一般化可能か？

主な発見

• 漸近的 $H \to \infty$ において、互いに素でない三つ組の数 $\mathcal{N}_3(H)$ は $\mathcal{N}_3(H) = \rho H^3 + O(H^2 (\log H)^2)$ を満たす。ここで $\rho$ はオイラー積を用いて定義される定数である。
• 定数 $\rho = 1 - \frac{3}{\zeta(2)} + 3\prod_p \left(1 - \frac{2p-1}{p^3}\right) - \prod_p \left(1 - \frac{3p-2}{p^3}\right)$ は数値的に約 $0.1742$ に評価される。
• 3つのランダムに選ばれた正の整数が互いに素でない確率は約17.4%である。
• $m \geq 2$ のとき、$\sum_{n=1}^H (\varphi(n)/n)^m$ の誤差項に対して $O((\log H)^m)$ の上界が、従来の解析的手法とは異なる初等的証明により確立された。
• この手法は包含除算法と既知の互いに素なペアおよび三つ組の漸近的性質に依存しているが、$n > 3$ に対しては、必要な和の組み合わせの組み合わせ的爆発のため、容易に拡張できない。