[論文レビュー] Pairwise Relative Primality of Positive Integers

Jerry Hu|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 2014

Analytic Number Theory Research参考文献 3被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、グラフ理論的枠組みを導入することで、k個のランダムな正の整数が相対的素数である確率という古典的結果を一般化する。ここでGは、整数のペアごとの素因数の共通因数の有無を表す制約を符号化する。包含除算法と乗法的数論を用いて、このようなk-組の個数の漸近的公式を導出し、自然密度がGにおける独立集合の数を含む、素数に関するオイラー積で与えられることを証明する。

ABSTRACT

Given a graph $G=(V,E)$ with $V=\{1,2,...,k\}$, the $k$ positive integers $a_1,a_2, ...,a_k$ are $G$-wise relatively prime if $(a_i, a_j)=1$ for $\{i,j\} \in E$. In this note we consider the problem of finding the probability $A_G$ that k positive integers are $G$-wise relatively prime. As an application of our results, we solve the problems of finding probabilities that k positive integers have exact (or at least) r relatively prime pairs, which was proposed by P. Moree.

研究の動機と目的

• k個のランダムな整数が相対的素数である確率が $1/\zeta(k)$ であるという古典的結果を、特定のペアのみが素数でなければならない場合に拡張する。ここで、グラフGがそのペアの制約を定義する。
• Gがどのペアが素数でなければならないかを指定するとき、正の整数k-組がG-素数である自然密度 $A_G$ を計算する。
• 固定された整数 $u_i$ に対する追加の素数条件を組み込むために、$u_i$ とG-素数であり、かつ $u_i$ と素数であるk-組の個数 $Q_G^{(u)}(n)$ を調べる。
• 包含除算法と乗法的関数を用いた統一的な枠組みを提供し、k個の整数の中で正確にまたは少なくともr個の相対的素数ペアを持つ確率を計算する。

提案手法

• k個の頂点を持つグラフ $G = (V,E)$ を定義し、辺が整数ペア間の必要な素数条件を表すようにする。
• Gにおけるサイズmの独立集合の数 $i_m(G)$ を用いて、主な密度公式 $A_G = \prod_p \left( \sum_{m=0}^k i_m(G) \left(1 - \frac{1}{p}\right)^{k-m} \frac{1}{p^m} \right)$ を構築する。
• 固定された $u_i$ に対して整数が素数でなければならない場合の密度を調整する補正因子 $f_G(u)$ を導入し、素数 $d$ で割り切れる添え字の集合 $S(u,d)$ の構造に基づく。
• モービウスの反転公式と乗法的数論を適用して、漸近的公式 $Q_G^{(u)}(n) = A_G f_G(u) n^k + O(\theta(u) n^{k-1} \log^{k-1} n)$ を導出する。
• 頂点の削除 ($G \to G-v$) による再帰的分解と帰納法を用いて主定理を証明し、乗法的関数と除数和に関する補題を活用する。
• 包含除算法を用いて、k個の整数の中で正確にまたは少なくとも $r$ 個の素数ペアを持つ確率を計算する。ここで、$i$ 条の辺を持つグラフの和 $B_{k,i} = \sum_{|E|=i} A_G$ を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられたグラフ $G$ に対して、正の整数k-組がG-素数である自然密度は何か？
• RQ2 固定された整数 $u_i$ に対しても素数でなければならない場合、G-素数性の確率はどのように変化するか？
• RQ3 k個のランダムな正の整数が正確に $r$ 個の相対的素数ペアを持つ確率は何か？
• RQ4 k個の正の整数がすべてのペアで相対的素数でない確率は何か？
• RQ5 グラフにおける独立集合の個数が、G-素数なk-組の密度にどのように影響するか？

主な発見

• k個の正の整数がG-素数である自然密度 $A_G$ は、オイラー積 $A_G = \prod_p \left( \sum_{m=0}^k i_m(G) \left(1 - \frac{1}{p}\right)^{k-m} \frac{1}{p^m} \right)$ で与えられる。ここで $i_m(G)$ はGにおけるサイズmの独立集合の数である。
• u_i = 1 の場合、k個の整数がG-素数である確率は $A_G = \prod_p \left( \sum_{m=0}^k i_m(G) \left(1 - \frac{1}{p}\right)^{k-m} \frac{1}{p^m} \right)$ であり、k=2のときの古典的結果 $6/\pi^2$ を一般化する。
• 3個の正の整数がすべてのペアで相対的素数でない確率は $A_{3,=0} = 1 - 3A_{3,1} + 3A_{3,2} - A_{3,3}$ で与えられ、ここで $A_{3,1} = \prod_p \left(1 - \frac{1}{p^2}\right)$、$A_{3,2} = \prod_p \left(1 - \frac{1}{p}\right)\left(1 + \left(1 - \frac{1}{p}\right)\frac{1}{p}\right)$、$A_{3,3} = \prod_p \left(1 - \frac{1}{p}\right)^2 \left(1 - \frac{2}{p}\right)$ である。
• 4個の整数の場合、正確に $r$ 個の素数ペアを持つ確率は包含除算法により計算可能である：$A_{4,=0} = 1 - 6A_{4,1} + 12A_{4,2,1} + 3A_{4,2,2} - 4A_{4,3,1} - 16A_{4,3,2} + 15A_{4,4} - 6A_{4,5} + A_{4,6}$ であり、各 $A_{4,i,j}$ に対して明示的な公式が与えられる。
• $u_i$ とG-素数であり、かつ $u_i$ と素数であるk-組の個数 $Q_G^{(u)}(n)$ の漸近的公式は、$Q_G^{(u)}(n) = A_G f_G(u) n^k + O(\theta(u) n^{k-1} \log^{k-1} n)$ を満たす。ここで $\theta(u)$ は $u_i$ の中での平方自由な因子の最大個数である。
• 本手法は、4個の整数がすべてのペアで相対的素数でない確率を正しく計算でき、フリーベルグの結果を体系的なグラフ理論的・乗法的アプローチにより回復・拡張した。