[論文レビュー] Paley type group schemes from cyclotomic classes and Arasu-Dillon-Player difference sets

Yu Qing Chen, Tao Feng|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2012

Coding theory and cryptography参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、巡回的クラスとArasu-Dillon-Player差集合を用いて、有限体におけるアーベル型パレーヨ型群スキームの新規構成法を提示する。乗法的特徴関数とSinger型差集合を活用し、特に$√{3^5}$では14の新しいガロア不変パレーヨ型群スキーム、$√{3^7}$では少なくとも18個を同定した。これらは従来の構成法とは非同型の構造を持つ。

ABSTRACT

In this paper, we present constructions of abelian Paley type group schemes by using multiplicative characters of finite fields and Arasu-Dillon-Player difference sets. The constructions produce many new Paley type group schemes that were previous unknown in our classification of Paley type group schemes in finite fields of small orders.

研究の動機と目的

• 既知の方法を超えた、巡回的クラスと差集合を用いた有限体における新規パレーヨ型群スキームの構成。
• 小規模な有限体における非同型パレーヨ型群スキームの分類と同定を、網羅的なコンピュータ探索により行う。
• 奇数次拡張$√{q^l}$におけるSinger差集合およびArasu-Dillon-Player差集合を用いた既存構成の拡張。
• これらのスキームに関連する構成の自己同型群および同型型の同定。
• 商群における差集合の和集合・共通部分集合から新規パレーヨ型群スキームを生成する一般化された構成法の確立。

提案手法

• 著者らは、有限体の乗法的特徴関数を用い、群環$√{\mathbb{Z}[G]}$における形式的和を通じてパレーヨ型群スキームを分析・構成する。
• 群環$√{\mathbb{Z}[G]}$における恒等式$(1 + 2\mathbb{D}^{(-1)})(1 + 2\mathbb{D}) = |G| + (|G| - 1)G$を用いて、パレーヨ型群スキームを定義する。
• 構成は、有限体$√{\mathbb{F}_{q^l}}^*$の商群$√{\mathbb{F}_{q^l}^* / \mathbb{F}_q^*}$における巡回的クラス$S^{(k)}_{q^l/q}$およびArasu-Dillon-Player差集合$A_{q^l/q}(m)$に依存する。
• MAGMAを用いて、$\leq 240$の位数をもつ有限体において網羅的探索を実施し、構成の同型性に基づく分類を実施した。
• 定理1.2および定理4.2などの理論的結果により、乗法的商群の部分集合$X$に対して$\mathbb{D}(X)$がパレーヨ型群スキームを形成する条件を確立した。
• 重要な技術的手段として、$X_1 \cap X_2 = \emptyset$を満たす場合に、$\mathbb{D}(X_1)$および$\mathbb{D}(X_2)$がパレーヨ型群スキームであれば、$\mathbb{D}(X_1 \cup X_2)$もパレーヨ型群スキームであるという恒等式の利用。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 巡回的クラスとArasu-Dillon-Player差集合を用いて、既知の手法を超えた有限体における新規パレーヨ型群スキームを構成可能か？
• RQ2 $\mathbb{F}_{3^5}$および$\mathbb{F}_{3^7}$において、非同型の構成を持つ非同型パレーヨ型群スキームはそれぞれいくつ存在するか？
• RQ3 奇数次$l$の拡張$\mathbb{F}_{q^l}$において、パレーヨ群スキームや既存の構成法とは同値でない、新しいガロア不変パレーヨ型群スキームが存在するか？
• RQ4 $\mathfrak{C}(\mathbb{D}(S^{(2)}_{5^3/5}))$の自己同型群の位数は？
• RQ5 商群$\mathbb{F}_{q^l}^* / \mathbb{F}_q^*$における2つのパレーヨ型群スキームの和集合または共通部分集合が、新たなパレーヨ型群スキームを生成できるか？

主な発見

• 在$\mathbb{F}_{3^5}$では、非同型の構成を持つ10個の非同型パレーヨ型群スキームが同定され、$\mathbb{D}(S^{(2)}_{3^5/3})$、$\mathbb{D}(S^{(4)}_{3^5/3})$、$\mathbb{D}(S^{(5)}_{3^5/3})$、$\mathbb{D}(S^{(10)}_{3^5/3})$、$\mathbb{D}(S^{(20)}_{3^5/3})$、$\mathbb{D}(S^{(40)}_{3^5/3})$、$\mathbb{D}(A_{3^5/3}(4))$、$\mathbb{D}(A_{3^5/3}(5))$、$\mathbb{D}(A_{3^5/3}(10))$、$\mathbb{D}(A_{3^5/3}(20))$が含まれる。
• $\mathfrak{C}(\mathbb{D}(S^{(2)}_{5^3/5}))$の自己同型群の位数は$2^3 \cdot 3 \cdot 5^3$であり、非自明な対称性を有することが確認された。
• $\mathbb{F}_{3^5}$において、$S^{(5)}_{3^5/3} \cap A_{3^5/3}(5)$の共通部分集合は、既に発見済みの13個のスキームのいずれとも同型でない、新たなパレーヨ型群スキームを生成した。
• $\mathbb{F}_{7^3}$では、$\mathbb{D}(S^{(2)}_{7^3/7})$および$\mathbb{D}(S^{(-1)}_{7^3/7})$から得られる2つの非同型構成が得られ、それぞれの自己同型群の位数は$3^2 \cdot 7^3$であった。
• $\mathbb{F}_{3^7}$では、非同型の構成を持つ14個の非同型パレーヨ型群スキームが発見され、$\mathbb{D}(S^{(2)}_{3^7/3})$、$\mathbb{D}(S^{(4)}_{3^7/3})$、$\mathbb{D}(S^{(5)}_{3^7/3})$、$\mathbb{D}(S^{(10)}_{3^7/3})$、$\mathbb{D}(S^{(14)}_{3^7/3})$、$\mathbb{D}(S^{(28)}_{3^7/3})$、$\mathbb{D}(S^{(182)}_{3^7/3})$、$\mathbb{D}(S^{(364)}_{3^7/3})$、$\mathbb{D}(A_{3^7/3}(4))$、$\mathbb{D}(A_{3^7/3}(5))$、$\mathbb{D}(A_{3^7/3}(10))$、$\mathbb{D}(A_{3^7/3}(14))$、$\mathbb{D}(A_{3^7/3}(28))$、$\mathbb{D}(A_{3^7/3}(182))$が含まれる。
• $\mathbb{F}_{3^7}$の14個のスキームのいずれとも、$\mathrm{DY}(\pm1)$や$\mathrm{RT}(\pm1)$とは同型でないため、パレーヨ群スキームを除き、少なくとも18個のガロア不変パレーヨ型群スキームが存在することが示された。