[論文レビュー] Palindromic discontinuous Galerkin method for kinetic equations with stiff relaxation

David Coulette, Emmanuel Franck+3 more|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2016

Lattice Boltzmann Simulation Studies参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、剛性のある緩和を伴う運動方程式に対して、高次かつ漸近保存型のパルンドロミックな不連続ガラーキン格子ボルツマン法を提案する。陽解法の限界を克服するため、三角形の線形系を用いた陰的迎角DG空間離散化と、パルンドロミック時間積分を組み合わせることで、高次精度（最大6次）を達成し、高CFL数でも安定で、小さな緩和時間に対しても頑健である。Riemann問題（$\tau > 0$を含む）を含む挑戦的なテストケースにおいて、最適な収束速度と安定性を示した。本手法は漸近保存性を維持し、三角形線形系により、低記憶量の効率的計算が可能である。

ABSTRACT

We present a high order scheme for approximating kinetic equations with stiff relaxation. The objective is to provide efficient methods for solving the underlying system of conservation laws. The construction is based on several ingredients: (i) a high order implicit upwind Discontinuous Galerkin approximation of the kinetic equations with easy-to-solve triangular linear systems; (ii) a second order asymptotic-preserving time integration based on symmetry arguments; (iii) a palindromic composition of the second order method for achieving higher orders in time. The method is then tested at orders 2, 4 and 6. It is asymptotic-preserving with respect to the stiff relaxation and accepts high CFL numbers.

研究の動機と目的

• 剛性のある緩和を伴う運動方程式に対して、高CFL数でも安定で精度が保たれる高次数値スキームの開発。
• 陽解法と標準LBMの限界を克服するため、三角形線形系を用いた陰的迎角不連続ガラーキン（DG）空間離散化の導入。
• 対称な2次時間積分器のパルンドロミック合成により、時間方向の高次精度を達成し、$\tau \to 0$ の極限で漸近保存性を保証。
• 粘性および接触波動不連続性問題を含む、剛性のある緩和領域における本手法の頑健性と収束性のテスト。
• 並列およびハイブリッドアーキテクチャに適した、効率的で低記憶量の計算を可能にする。高次元への応用も視野に入れる。

提案手法

• 本手法は、得られる線形系が三角形であり、明示的に解けるため、高CFL数と安定性を実現する陰的迎角DG空間離散化を採用している。
• 対称性の議論に基づき、$\tau \to 0$ の極限で漸近的挙動を保存するための2次、対称時間積分器を構築した。
• 2次スキームのパルンドロミック合成により、時間方向の高次精度を達成し、SuzukiおよびKahan-Liスキームを用いて4次および6次でテストした。
• 運動モデルはGrailleのベクトル型LBMに基づき、$2m$個の離散速度$v_i = \pm\lambda$を有し、保存変数$w$およびフラックス$q(w)$を回復するように平衡分布を定義した。
• 本スキームは漸近保存性を有する：$\tau \to 0$ のとき、解は元の双曲型保存則系に収束する。
• 1次元Riemann問題および粘性テストケースで数値実験を行い、2次、4次、6次での収束解析および$\tau > 0$における安定性解析を実施した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 迎角フラックスを用いた陰的DG法は、剛性のある緩和を伴う運動方程式において、高CFL数でも高次精度と安定性を達成できるか？
• RQ2 対称な2次時間積分器のパルンドロミック合成は、小さな緩和時間$\tau$に対して漸近保存性を保つのか？
• RQ3 $\tau \approx \Delta t$ または $\tau < \Delta t$ のとき、複素数ステップを用いたスキームと実数ステップを用いたスキームの安定性および精度はどのように比較されるか？
• RQ4 高CFL条件下および剛性のある緩和領域において、4次および6次での収束挙動はいかなるものか？
• RQ5 粘性テストケース（$\tau > 0$）において、標準スキームが失敗する臨界値に近い領域でも、本手法は精度と安定性を維持できるか？

主な発見

• CFL数100の条件下で、低マッハ数テストケースにおいて、4次および6次で最適な収束速度が達成された。4次Suzukiスキームおよび6次Kahan-Liスキームは、期待通りの収束挙動を示した。
• 高CFL数（$\beta = 100$）では、複素数ステップを用いたスキームが不安定化する一方、パルンドロミックスキームは安定で正確な結果を示した。
• $\tau = 0.000519$ のとき、6次Kahan-Liスキームは特異性条件（$2\tau + \gamma_2\Delta t/2 = 0$）により失敗したが、複素数ステップスキームは安定であり、$N_x=100$および$N_x=1000$の両メッシュで参照解と区別できない結果を生成した。
• 本手法は漸近保存性を維持する：$\tau \to 0$ のとき、解は元の双曲型保存則系に収束し、$\tau > 0$ のとき緩和項は粘性項として作用する。これはチャップマン＝エンスコーグ理論と整合的である。
• 陰的DGソルバーは、前方代入により効率的に解ける三角形線形系を生成し、低記憶量実装と高い効率性を実現した。
• 本手法は$\tau > 0$に対しても頑健であり、複素数ステップスキームは中程度のCFL数で$2\tau + \Delta t$の安定性の壁を越えることができ、剛性領域への広範な応用の可能性を示唆している。