[論文レビュー] Pants Decompositions of Surfaces

Allen Hatcher|ArXiv.org|Jun 12, 1999

Geometric and Algebraic Topology参考文献 1被引用数 31

ひとこと要約

本稿では、コンパクトな可定向曲面 Σ のパンツ分解の同値類を頂点とする2次元セル複体であるパンツ分解複体 𝒫(Σ) を導入する。辺は基本的移動（S-移動とA-移動）に対応する。本稿では、すべての移動列の関係が5つの基本的タイプ—3A、5A、3S、6AS、および可換性—から生じることを示し、パンツ分解の位相的構造を完全に組み合わせ的に理解するための構造を確立する。

ABSTRACT

We consider collections of disjoint simple closed curves in a compact orientable surface which decompose the surface into pairs of pants. The isotopy classes of such curve systems form the vertices of a 2-complex, whose edges correspond to certain simple moves in which only one curve changes, and whose 2-cells correspond to certain elementary cycles of simple moves. The main theorem is that this 2-complex is simply-connected. Thus any two pants decompositions of a surface are joinable by a sequence of simple moves, and any two such sequences of simple move are related by the elementary relations. The proof is similar to the proof, in a 1980 paper with W. Thurston, of an analogous result for curve systems with connected genus zero complement. [The present paper is essentially an excerpt from a joint paper with P. Lochak and L. Schneps which is to appear in Crelle's Journal.]

研究の動機と目的

• コンパクトな可定向曲面上のパンツ分解の組み合わせ的構造を理解すること。
• 1つのパンツ分解から別のパンツ分解に至るための基本的移動（S-移動とA-移動）の列の間の関係を特徴づけること。
• 1次元スケルトンが基本的移動を符号化し、2次元セルがそれらの間の基本的関係を符号化する2次元セル複体 𝒫(Σ) を構成すること。
• 𝒫(Σ) が単連結であることを証明することにより、移動列のすべてのホモトピー的関係が指定された5種類の関係によって生成されることを示すこと。

提案手法

• パンツ分解を、Σ をペアオブパンツ（3つの境界を持つ genus 0 の曲面）に切り分ける、互いに境界を共有しない単純閉曲線の最大系として定義する。
• 2種類の基本的移動を導入する：S-移動（1つの境界を持つトーラスを囲む曲線の置き換え）とA-移動（4個の穴を持つ球面を囲む曲線の置き換え）。
• 頂点をパンツ分解の同値類、辺を基本的移動、5つの基本的サイクル（3A、5A、3S、6AS、および互いに交わらない移動の可換性）に沿って貼り付ける2次元セルを備えたパンツ分解複体 𝒫(Σ) を構成する。
• モース理論を用いて、パンツ分解をモース関数 f: Σ → [0,1] の等高線集合としてモデル化し、臨界点と境界成分を符号化する商グラフ Γ(f) を介して複体 𝒫(Σ) を実現する。
• 穴のあるトーラスの場合の単連結性を用い、穴の近くでの局所的リフトと、genus 0 の曲面に関する既知の結果を組み合わせることで、元の曲面へのリフトを介して単連結性を証明する。
• 任意の 𝒫(Σ) 内のループが、トランスバーサル性と穴を渡る曲線の連続的変形を用いて、5つの基本的関係に還元できることを示し、nullhomotopic であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 表面 Σ 上で1つのパンツ分解から別のパンツ分解に至るための、A-移動とS-移動の列を支配する完全な関係の集合は何か？
• RQ2 パンツ分解の空間に、すべてのこのような移動列を捉える自然な位相的構造をどのように与えることができるか？
• RQ3 なぜパンツ分解複体 𝒫(Σ) は単連結であり、これはパンツ分解の空間のホモトピー型にどのような意味を持つのか？
• RQ4 5つの基本的移動サイクル（3A、5A、3S、6AS、および可換性）が、𝒫(Σ) 内の移動列のすべての関係をどのように生成するのか？
• RQ5 一般の場合を、穴あきトーラスからのリフト法を用いて、genus 0 の場合に還元することで、𝒫(Σ) の単連結性を確立できるか？

主な発見

• パンツ分解複体 𝒫(Σ) は単連結であり、複体内のすべてのループが nullhomotopic である。
• A-移動とS-移動の列の間のすべての関係は、5つの基本的タイプ（3A、5A、3S、6AS、および互いに交わらない移動の可換性）によって生成される。
• 型 (0,n) の曲面に対して、複体 𝒫(Σ) は明示的に収縮可能であり、n=4 または n=5 のとき、すべての関係は 3A および 3S サイクルから生じる。
• genus (1,n) の曲面に対する複体 𝒫(Σ) は、穴あきトーラスの場合の nullhomotopy をリフトすることで単連結であることを示せる。
• 6AS および 5A の関係は、それぞれ (1,2) および (0,5) の部分曲面における幾何的配置から生じ、関係集合を完成させるために不可欠である。
• 証明により、2つのパンツ分解を結ぶ任意の移動列の列は、5つの基本的サイクルおよび逆移動ペアの挿入／削除によって同値であることが示された。