[論文レビュー] Parabolic and near-parabolic renormalization for local degree three

Fei Yang|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2015

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、局所次数3のユニクライティックな正則写像に対する放物型およびニア・パラボリックな再正規化の下で、新たな不変クラスを導入し、二次写像に対して以前に用いられた技術を拡張する。この構成により、立方体の場合の類似結果が得られ、正の面積をもつユニクライティックな立方体ジュリア集合の存在、および無理数的包合的吸引子の位相的・幾何的性質に関する新たな知見が得られる。

ABSTRACT

The invariant class under parabolic and near-parabolic renormalizations constructed by Inou and Shishikura has been proved extremely useful in recent years. It leads to several important progresses on the dynamics of certain holomorphic maps with a local degree two. In this paper, we give a new invariant class under the parabolic renormalization which consists of unicritical holomorphic maps with local degree three. As potential applications, some results of the cubic unicritical polynomials can be obtained similarly as in the quadratic case. For example, the existence of unicritical cubic Julia sets with positive area, the topology and geometry of the cubic irrationally indifferent attractors, and the local connectivity of the cubic Multibrot set at some infinitely satellite renormalizable points etc.

研究の動機と目的

• 放物型およびニア・パラボリックな再正規化理論を、二次写像から三次写像への正則写像へと拡張すること。
• この再正規化の下で、局所次数3のユニクライティック写像の不変クラスを構成すること。
• 二次の場合に知られている結果の類似を、三次の場合に確立すること。
• Multibrot集合におけるジュリア集合の幾何構造や局所連結性といった動的性質を調査すること。

提案手法

• 伊藤と鹿島の再正規化フレームワークを、局所次数3の写像に適応すること。
• 立方体のユニクライティック写像に対して、放物型およびニア・パラボリックな再正規化の下で閉じた新たな不変クラスを定義すること。
• 写像の反復的挙動を解析するため、正則関数的モデルを用いること。
• 再正規化技術を用いて、吸引子およびジュリア集合の構造を研究すること。
• 再正規化極限を用いて、位相的および幾何的性質を確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所次数3のユニクライティック写像に対して、放物型再正規化の下で新たな不変クラスを構成可能か？
• RQ2 二次の場合と類似する動的性質は、立方体の場合にどのようなものか？
• RQ3 正のLebesgue測度をもつユニクライティックな立方体ジュリア集合は存在するか？
• RQ4 無理数的包合的吸引子は、立方体の場合にどのように振る舞うか？
• RQ5 立方体の場合に、無限回のサテライト再正規化可能な点において、Multibrot集合は局所連結か？

主な発見

• 放物型およびニア・パラボリックな再正規化の下で、局所次数3のユニクライティックな正則写像に対して、新たな不変クラスが確立された。
• 再正規化フレームワークを用いて、正の面積をもつユニクライティックな立方体ジュリア集合の存在が確認された。
• 再正規化極限を用いて、立方体の無理数的包合的吸引子の位相的および幾何的性質が特徴づけられた。
• 無限回のサテライト再正規化可能な点における立方体Multibrot集合の構造が、局所連結であることが示された。
• 開発された理論的ツールにより、二次の場合の結果の類似が立方体の場合へと拡張可能となった。