[論文レビュー] Parabolic Catalan numbers count flagged Schur functions; Convexity of tableau sets for Demazure characters

Robert A. Proctor, Matthew J. Willis|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2016

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ひとこと要約

本稿では、312を避けるR-置換——{1,...,n}の順序付き分割で、ブロックサイズが部分集合R ⊆ [n−1]から導かれるもの——の個数として、放物型Catalan数を導入する。これらの数が異なるフラッグ付きシュール関数を数え上げることを示し、デムゼール文字のテーブルセットが凸になる条件を特徴づけ、それが312を避けるR-置換であるときに限り成り立つことを示す。主な貢献は、深い組合せ的一致である：フラッグ付きシュール関数とデムゼール文字が、インデックス付けの置換が312を避けるときに、整数格子における凸性のレベルで完全に一致する。

ABSTRACT

Shuffles are n-multipermutations with suit multiplicities given by a subset R of {1,..,n-1}. Their inverses are ordered partitions of {1,..,n} whose block sizes derive from R. These "R-permutations" depict the min length coset reps for the quotient of S_n by the parabolic subgroup W_J, with J the complement of R. We refer to those that blockwise avoid the pattern 312 as "312-avoiding R-permutations" and define the "parabolic R-Catalan number" to be the number of them. Let lambda be a partition of N with at most n parts whose set of shape column lengths less than n is R. We show that the number of flagged Schur functions formed on the shape of lambda is this parabolic R-Catalan number, and list over a dozen other phenomena that are enumerated by it. Let pi be an R-permutation. We view the Demazure character (key polynomial) indexed by (lambda,pi) as the sum of the content weight monomials for our "pi-Demazure" semistandard tableaux of shape lambda with entries from {1,..,n}. We show that the set of these tableaux is convex in Z^N if and only if pi is a 312-avoiding R-permutation. A flagged Schur function is the sum of the content weight monomials for the semistandard tableaux of shape lambda whose entries are row-wise bounded by a given weakly increasing n-tuple. We consider general row bound sums for which the bounds may be any n-tuple. Reiner and Shimozono and then Postnikov and Stanley obtained results concerning coincidences between flagged Schur functions and Demazure characters: when lambda is strict, the flagged Schur functions exactly coincide with the 312-avoiding Demazure characters. For general lambda we introduce precise indexing sets of n-tuple bounds for the row bound sums. This and our convexity results are used to sharpen their coincidence results, to extend them to general row bound sums, and to show they hold at the deeper level of coinciding underlying tableau sets.

研究の動機と目的

• 312を避けるR-置換を用いて、新しい組合せ的対象——R-放物型Catalan数——を定義し、数えること。
• インデックス付けのテーブルセットが一致する条件を同定することで、フラッグ付きシュール関数とデムゼール文字の正確な対応関係を確立すること。
• ℤ^Nにおけるデムゼールテーブルセットの凸性を特徴づけ、それがインデックス付けのR-置換が312を避けるときに限り成り立つことを示すこと。
• フラッグ付きシュール関数の行境界和のインデックス付けを、312を避けるR-置換と双対的に対応する「ギャップレスR-タプル」を用いて精緻化すること。
• Reiner, Shimozono, Postnikov, Stanleyらの先行研究を拡張・強化し、フラッグ付きシュール関数とデムゼール文字の一致が、多項式のレベルではなく、テーブルセットのレベルでも成り立つようにすること。

提案手法

• R-置換を、{1,...,n}の順序付き分割として定義し、そのブロックサイズが部分集合R ⊆ [n−1]から導かれるものとする。これは、S_n / W_Jにおける最小長のコセット代表元（J = [n−1] ∓ R）に対応する。
• R-置換における「R-312避ける性質」を導入し、古典的な312パターン回避を一般化する。放物型R-Catalan数は、このような置換の個数として定義される。
• 「Rランク写像」を用いて、312を避けるR-置換と「ギャップレスR-タプル」の間の双対写像を構成する。ギャップレスR-タプルは、フラッグ付きシュール関数の最も効率的な行境界和のインデックスを提供する。
• 「π-デムゼール」半標準ヤングテーブルを、[n]からなる要素と、(λ, π)でインデックス付けされたデムゼール文字の重み多項式に合致する内容重みを持つものとして定義し、その集合がℤ^Nで凸であることはπが312を避けるときに限り成り立つことを証明する。
• インデックス付けの置換が312を避けるとき、フラッグ付きシュール関数とデムゼール文字が多項式として一致するだけでなく、それらの基盤となるテーブルセットまで一致することを、凸性とインデックス精緻化を用いて確立する。
• Gessel-Viennotの行列式公式を適用し、異なるフラッグ付きシュール関数とデムゼール文字の個数を数え、それが放物型R-Catalan数に一致することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 放物型R-Catalan数の組合せ的解釈は何か？そして、古典的Catalan数をどのように一般化するか？
• RQ2 フラッグ付きシュール関数とデムゼール文字が多項式として一致するのはどのような条件下か？この一致を、それらの基盤となるテーブルセットの一致へと強化できるか？
• RQ3 与えられた形状λに対して、π-デムゼールテーブルセットがℤ^Nで凸になるのはいつか？これはインデックス付けの置換πにおけるパターン回避とどのように関係するか？
• RQ4 異なるフラッグ付きシュール関数を生成する行境界和のインデックス付けにおいて、最も効率的なものは何か？そして、これは312を避けるR-置換とどのように関係するか？
• RQ5 Reiner, Shimozono, Postnikov, Stanleyらのフラッグ付きシュール関数とデムゼール文字の一致に関する結果は、一般の行境界和とテーブルセットの凸性を考慮すると、どのように拡張されるか？

主な発見

• 列長がn未満で集合Rを形成する形状λにおける、異なるフラッグ付きシュール関数の個数は、ちょうど放物型R-Catalan数に一致する。これは、312を避けるR-置換の個数として定義される。
• π-デムゼールテーブルセットがℤ^Nで凸であることは、R-置換πが312を避けるときに限り成り立つ。これにより、パターン回避と凸性の間の深い構造的関係が確立される。
• フラッグ付きシュール関数とデムゼール文字が多項式として一致するのは、インデックス付けの置換が312を避けるときに限り成り立ち、この一致はテーブルセットのレベルまで拡張され、同一のテーブルセットが得られる。
• 異なるフラッグ付きシュール関数を生成する行境界和の最も効率的なインデックス付けは、Rランク写像を介して312を避けるR-置換と双対的に対応し、これにより「ギャップレスR-タプル」が得られる。
• 全放物型Catalan数C_n^Σは、312を避けるR-置換だけでなく、右端クラム削除鎖、列長がn未満で相異なるギャップレスキー、およびSL(n)/P_Jにおけるデムゼールテーブルセットが凸であるシューベルティィ変種をも数える。
• 本稿は、Reiner, Shimozono, Postnikov, Stanleyらの先行研究を拡張・強化する統合的枠組みを提供し、それらの一致が偶然ではなく、凸性とパターン回避に基づくより深い組合せ的同値性から生じることを示している。