[論文レビュー] Parabolic conformally symplectic structures III; Invariant differential operators and complexes

Andreas Čap, Tomáš Salač|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2017

Geometric and Algebraic Topology参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、放物的接触化とベルンシュタイン＝ゲルファンド＝ゲルファンド（BGG）系列を用いて、放物的共形的シンプレクティック（PCS）構造の自然な微分複体を構成する。特殊なシンプレクティック接続（ねじれのないPCS構造の標準接続として生じる）に対して、これらの複体は、コホモロジーが複素射影空間の次数 0 と 2n+1 を除いて消える大規模な不変微分作用素の族を生じることを示している。ここで、次数 0 と 2n+1 におけるコホモロジーは、表現上の定義要素の作用の核に同型である。

ABSTRACT

This is the last part of a series of articles on a family of geometric structures (PACS-structures) which all have an underlying almost conformally symplectic structure. While the first part of the series was devoted to the general study of these structures, the second part focused on the case that the underlying structure is conformally symplectic (PCS-structures). In that case, we obtained a close relation to parabolic contact structures via a concept of parabolic contactification. It was also shown that special symplectic connections (and thus all connections of exotic symplectic holonomy) arise as the canonical connection of such a structure. In this last part, we use parabolic contactifications and constructions related to Bernstein-Gelfand-Gelfand (BGG) sequences for parabolic contact structures, to construct sequences of differential operators naturally associated to a PCS-structure. In particular, this gives rise to a large family of complexes of differential operators associated to a special symplectic connection. In some cases, large families of complexes for more general instances of PCS-structures are obtained.

研究の動機と目的

• 放物的共形的シンプレクティック（PCS）構造に関連する自然な微分複体を構成すること。
• 放物的接触化を用いて、不変微分作用素の理論をPCS構造へと拡張すること。
• これらの複体のコホモロジー、特に特殊なシンプレクティック接続の場合を特徴づけること。
• ケーラー構造および共形的フェドソフ構造から得られる結果を、より広いクラスのPCS構造へ一般化すること。
• 特殊なシンプレクティック接続が局所接触化を通じて同次的モデルと結びつく概念的枠組みを提供すること。

提案手法

• 放物的接触構造の横断的無限小対称性を用いて、PCS構造を放物的接触構造の商として実現する。
• 放物的接触構造から得られるBGG系列を応用し、底多様体上での不変微分作用素の系列を構成する。
• PCS構造の標準接続を用いて、幾何学的構造と特殊なシンプレクティック接続を関連付ける。
• BGG分解からの長完全系列を用いて、誘導された複体のコホモロジーを分析する。
• 表現上の対称性を生成する要素 X が表現上で対角化可能であることを利用して、長完全系列における接続準同型の消えることを示す。
• 既知の複素射影空間のコホモロジーを用いて、特定の状況下での誘導された複体のコホモロジーを計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 幾何学的および表現論的道具を用いて、PCS構造に自然に関連する微分複体を体系的に構成する方法は何か？
• RQ2 放物的接触構造からのPCS商によって誘導された多様体上での微分作用素複体のコホモロジー的挙動はいかなるものか？
• RQ3 これらの複体のコホモロジー群が消える、または特定の表現に還元される条件は何か？
• RQ4 リー代数内での対称性を生成する要素 X の構造が、誘導された複体のコホモロジーに与える影響は何か？
• RQ5 特殊なシンプレクティック接続がねじれのないPCS構造の標準接続としてどの程度生じるか、そしてこれは同次的モデルの幾何学とどのように関係するか？

主な発見

• n ≥ 2 である複素射影空間 CP^n に対して、誘導されたBGG複体のコホモロジーは、次数 0 と 2n+1 を除いてすべて消える。
• 次数 0 と 2n+1 において、コホモロジーは、対称性を生成する要素 X が自明に作用する表現の部分空間に同型である。
• X が表現上での作用の核と像が横断的であるとき、BGG分解からの長完全系列は短完全系列に分解され、接続準同型が消えることが示される。
• ケーラー的または共形的フェドソフ的幾何を有する場合、特殊なシンプレクティック接続に関連する複体のコホモロジーは、すべての奇数次元で自明である。
• 局所的に放物的接触化の同次的モデルと同型であるという事実を、特殊なシンプレクティック接続の存在に対する概念的説明として提供する。
• X が表現上で半単純に作用する他のPCS構造に対しても、結果は一般化可能であり、コホモロジー構造は X の表現論的性質によって制御される。