[論文レビュー] Parabolic equations with measurable coefficients in $L_p$-spaces with mixed norms

Doyoon Kim|ArXiv.org|May 25, 2007

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、係数 $a^{ij}$（$a^{11}$ を除く）が時間および1つの空間変数に関して可測で、残りの空間変数に関しては平均振動がゼロ（VMO）である場合、Sobolev空間における混合ノルム $L_{q,p}$ における2階放物型方程式の一意可解性を確立する。$a^{11}$ は1つの空間変数に関して可測で、時間および他の空間変数に関してはVMOである。主な結果は、これらの最小限の正則性仮定のもとで解に対する a priori $W^{1,2}_{q,p}$-推定を得ることであり、これにより埋め込み定理を用いて改善された Hölder 正則性が得られる。

ABSTRACT

The unique solvability of parabolic equations in Sobolev spaces with mixed norms is presented. The second order coefficients (except $a^{11}$) are assumed to be only measurable in time and one spatial variable, and VMO in the other spatial variables. The coefficient $a^{11}$ is measurable in one spatial variable and VMO in the other variables.

研究の動機と目的

• 非発散型放物型方程式が混合ノルム $L_{q,p}$ におけるSobolev空間で一意可解であることを確立すること。
• 係数が時間および1つの空間変数に関してのみ可測で、他の変数に関してはVMOである方程式の $L_{q,p}$-理論を拡張すること。
• 係数の正則性仮定を最小限に抑えた状況でも $W^{1,2}_{q,p}$-空間における a priori 推定を提供すること。
• 大きな $q$ を用いた埋め込み定理により、解の正則性を向上させ、Hölder連続性を含むものとする。

提案手法

• 時間と1つの空間変数 $(t,x^1)$ に関して可測で、残りの空間変数 $x'\in\mathbb{R}^{d-1}$ に関してはVMOである係数 $a^{ij}$（$i\neq1$ または $j\neq1$）を仮定し、混合ノルム $L_{q,p}$（$q > p \geq 2$）におけるSobolev空間の枠組みを用いて放物型方程式を分析する。
• 混合正則性条件を課す：$a^{ij}$（$i\neq1$ または $j\neq1$）は $(t,x^1)$ に関して可測で、$x'\in\mathbb{R}^{d-1}$ に関してはVMOである。一方、$a^{11}$ は $x^1$ に関して可測で、$(t,x')$ に関してはVMOである。
• 第二階微分の振動を制御するために、Campanato型推定と最大関数技法を用いて a priori 推定を適用する。
• 演算子を $L_0$ と $L_1$ に分解し、$x^1$-依存部を分離して、先行研究（例：[9]）の結果を適用する。
• スケーリングの議論とカバー型推定を用いて、$u_{xx}$ の $L_{q,p}$ ノルムを $L_0u$ と $u_{xx'}$ の $L_{q,p}$ ノルムで制御する。
• ブートストラップ法を用いる：まず $u_{xx'}$ をVMOおよび可測性仮定を用いて推定し、次に方程式の構造と第二の推定により $u_{x^1x^1}$ を回復する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 係数が時間および1つの空間変数に関してのみ可測で、他の変数に関してはVMOである放物型方程式について、一意可解性を確立できるか？
• RQ2 係数 $a^{ij}$ に必要な最小正則性は何か？ これにより $q > p \geq 2$ の $W^{1,2}_{q,p}$-推定が保証されるか？
• RQ3 非連続係数で、すべての空間変数に関して一様VMOでない場合の混合ノルム $L_{q,p}$-理論をどのように拡張できるか？
• RQ4 弱い係数仮定のもとで、$L_{q,p}$-枠組みを用いて解の正則性を向上させ、Hölder連続性を導けるか？

主な発見

• $q > p \geq 2$ かつ $f \in L_{q,p}((0,T)\times\mathbb{R}^d)$ に対して、$u \in W^{1,2}_{q,p}((0,T)\times\mathbb{R}^d)$ で $u(T,x) = 0$ を満たす一意解 $u$ が存在する。
• 係数 $a^{ij}$（$a^{11}$ を除く）は $(t,x^1)$ に関して可測で、$x'\in\mathbb{R}^{d-1}$ に関してはVMOである。一方、$a^{11}$ は $x^1$ に関して可測で、$(t,x')$ に関してはVMOである。
• コンパクトな時間台を持つ解に対して、a priori 推定 $\|u_{xx}\|_{L_{q,p}} \leq N\|L_0u\|_{L_{q,p}}$ が成り立つ。ここで $N$ は $d$, $p$, $q$, $\delta$, およびVMOのモジュラス $\omega$ に依存する。
• この推定は、まず Campanato型推定を用いて $\|u_{xx'}\|_{L_{q,p}}$ を抑え、次に方程式の構造と第二の推定により $\|u_{x^1x^1}\|_{L_{q,p}}$ を回復することで達成される。
• 推定における定数 $N$ は $\omega(R)$ に依存する。$R$ を小さく、$\kappa$ を大きく選ぶことで、低次の項を $1/2$ 未満にできるため、閉じた推定が得られる。
• この結果により、埋め込み定理を用いて解のHölder連続性を示すことができ、[3] や本稿の補題5.6における応用で示されている。