[論文レビュー] Parabolic equations with variably partially VMO coefficients

Hongjie Dong|ArXiv.org|Nov 25, 2008

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、主係数が1つの空間方向に関して可測で、残りの変数および時間に関しては平均振動が消失（VMO）であると仮定する下で、すべての $ p \in (1,\infty) $ に対して、非発散型2階放物型方程式の $ W^{1,2}_{p} $-可解性を確立する。主な進展は、$ p > 2 $ という従来の制限を、方程式を発散型に変換する変数変換を導入することによって除去したことである。これにより、部分的に VMO 係数をもつ発散型方程式に関する最近の結果が利用可能になる。

ABSTRACT

We prove the $W^{1,2}_{p}$-solvability of second order parabolic equations in nondivergence form in the whole space for $p\in (1,\infty)$. The leading coefficients are assumed to be measurable in one spatial direction and have vanishing mean oscillation (VMO) in the orthogonal directions and the time variable in each small parabolic cylinder with the direction depending on the cylinder. This extends a recent result by Krylov [17] for elliptic equations and removes the restriction that $p>2$.

研究の動機と目的

• 非発散型放物型方程式の $ W^{1,2}_p $-可解性理論を、$ p \in (1,\infty) $ にまで拡張すること、特に $ p \leq 2 $ を含む場合について、部分的に VMO 係数の仮定の下で行う。
• 部分的に VMO 係数をもつ方程式に関して、従来の結果に存在していた $ p > 2 $ という長年の制限を、$ L^2 $-理論に基づく鋭い関数推定の限界に起因するものであるが、これを別の解析的アプローチによって除去すること。
• Krylov による変動する部分的に VMO 係数をもつ楕円型方程式に関する最近の結果を、放物型設定に一般化し、混合ノルムソボレフ空間を含む。
• 同一の係数仮定の下で、混合ノルム空間 $ W^{1,2}_{q,p} $（$ q \geq p $）における可解性を確立すること。

提案手法

• 係数が1つの空間変数にのみ依存する非発散型放物型方程式を、発散型方程式に変換するための変数変換を導入する。
• 発散型放物型方程式に関して、部分的に VMO 係数をもつ最近の結果を適用し、係数が1つの空間変数にのみ依存する場合の $ W^{1,2}_p $-可解性を確立する。
• 点ごとの鋭い関数推定と一般化された Fefferman-Stein 定理を用いて、小さな放物型シリンダー内での2階微分の振動を制御する。
• 最大関数推定とダイアディック分解技術を用いて、特に $ q \geq p $ の場合に混合ノルム $ L_{q,p} $-空間を扱い、下位の項の最大関数による微分の $ L^p $-ノルムを制御する。
• Partition of unity を構成し、局所化された最大関数を用いて、$ D^2u $ および $ u_t $ の $ L^p $-ノルムを $ Pu $、$ Du $、および $ f $ で表す。この際、係数の VMO 条件を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 主係数が1つの空間方向に関して可測で、残りの変数および時間に関しては VMO である場合、非発散型放物型方程式の $ W^{1,2}_p $-可解性は、すべての $ p \in (1,\infty) $ に対して拡張可能か？
• RQ2 部分的に VMO 係数をもつ方程式に関して、従来の結果に存在する $ p > 2 $ という制限は、別の解析的アプローチによって除去可能か？
• RQ3 同じ係数仮定の下で、混合ノルムソボレフ空間 $ W^{1,2}_{q,p} $（$ q \geq p $）における可解性理論は拡張可能か？
• RQ4 非発散型から発散型に変換するための変数変換の使用は、部分的に VMO 係数の下で $ p < 2 $ の場合の $ L^p $-推定を可能にするか？

主な発見

• 本稿は、主係数が1つの空間変数にのみ依存し、残りの変数および時間に関しては VMO である場合、かつ各放物型シリンダーごとに可測方向が変化するという条件下で、すべての $ p \in (1,\infty) $ に対して非発散型放物型方程式の $ W^{1,2}_p $-可解性を確立する。
• 係数が1つの空間変数にのみ依存する場合、変数変換により方程式を発散型に変換することで、$ p > 2 $ という制限が除去され、発散型方程式の $ L^p $-理論が利用可能になる。
• Krylov による最近の楕円型方程式に関する変動する部分的に VMO 係数の研究を放物型設定に拡張し、すべての $ p \in (1,\infty) $ に対して同じ可解性が成り立つことを確認した。
• 同じ係数仮定の下で、$ q \geq p $ に対して $ W^{1,2}_{q,p} $-可解性を証明した。推定式 $ \|u_t\|_{L_{q,p}} + \|D^2u\|_{L_{q,p}} \leq N\|Pu\|_{L_{q,p}} + N\|Du\|_{L_{q,p}} $ は $ 1 < p < q < \infty $ に対して成り立ち、十分に小さい $ R $ および十分に大きな $ \kappa $ に対して有効である。
• 証明は鋭い関数推定と最大関数の境界に依存しており、定数は $ d $、$ p $、$ q $、および強楕円定数 $ \delta $ のみに依存する。最終的な推定は、$ \kappa $ を十分に大きく、$ \gamma $ と $ R $ を十分に小さく選ぶことで、誤差項を吸収することによって達成される。