[論文レビュー] Parabolic inductions for pro-$p$-Iwahori Hecke algebras

Noriyuki Abe|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2016

Advanced Algebra and Geometry被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、特徴値 $p$ の体上の pro-$p$-Iwahori Hecke 代数に対して、放物的誘導とその随伴函手の基礎的性質を確立し、任意の単純加群が左または右の随伴函手によって写された像が、ゼロまたは非可約であることを証明する。これらの函手が一般化された Steinberg 加群および超特異加群に作用する具体的な公式を提供し、一般化された Steinberg 加群の拡張群への還元により、単純加群間の拡張群の計算を可能にする。

ABSTRACT

We give some properties of parabolic inductions and their adjoint functors for pro-$p$-Iwahori Hecke algebras.

研究の動機と目的

• pro-$p$-Iwahori Hecke 代数の文脈における放物的誘導函手およびその随伴函手の構造と挙動を理解すること。
• 特に超特異、一般化された Steinberg、および放物的に誘導された加群を含む単純加群の、左および右の随伴函手 $L_P$ と $R_P$ による像を分類すること。
• 一般化された Steinberg 加群の拡張群への還元により、単純加群間の拡張群の計算を可能にする枠組みを提供すること。
• 正の部分代数と負の部分代数から生じる四つの異なる誘導の概念の関係を明確にし、それらが二つの基本的な函手に還元されることを示すこと。

提案手法

• 正の部分代数 $\mathcal{H}_P^\pm$ と負の部分代数から全代数 $\mathcal{H}$ へのホモトピー $j_P^{\pm*}$ および $j_P^\pm$ を用いて、四つの誘導函手を定義する。
• 四つの誘導のうち、$I_P$ と $I_P'$ のみが独立であり、他の二つはこれらで表現可能であることを示す。
• 群表現における Bruhat 細分フィルトレーションに類似した $I_P(\sigma)$ のフィルトレーションを用いて、構造と挙動を分析する。
• 左および右の随伴函手 $L_P$ と $R_P$ を単純加群に作用させ、既知の分類（すべての単純 $\mathcal{H}$-加群は超特異加群の放物的誘導から得られる）を活用する。
• 中心的イデムポテン $E_{o_-}(\lambda)$ の構造と、$z_\mathcal{O}$ が超特異加群に作用する方法を用いて、超特異 $\pi$ に対して $L_P(\pi)$ および $R_P(\pi)$ が消えることを証明する。
• 包含関係（部分群の包含）に応じて、$L_R(I(P,\sigma,Q))$ および $R_R(I(P,\sigma,Q))$ の明示的公式を、放物的誘導のデータに基づいて導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正の部分代数／負の部分代数および異なるホモトピーに基づく四つの異なる放物的誘導の概念は、互いにどのように関係しているか？
• RQ2 単純 $\mathcal{H}$-加群が左および右の随伴函手 $L_P$ および $R_P$ によって写された像は何か？
• RQ3 $L_P$ や $R_P$ による放物的に誘導された加群の像が非ゼロとなる条件は何か？
• RQ4 一般化された Steinberg 加群に関する既知の結果と随伴函手を用いて、単純 $\mathcal{H}$-加群間の拡張群を計算できるか？
• RQ5 随伴函手は一般化された Steinberg 加群および超特異加群にどのように作用するか？

主な発見

• 任意の単純 $\mathcal{H}$-加群が左または右の随伴函手 $L_P$ や $R_P$ によって写された像は、ゼロまたは非可約のいずれかである。
• 超特異 $\mathcal{H}_P$-加群 $\sigma$ から誘導された単純加群 $I(P,\sigma,Q)$ について、$L_R$ による像が非ゼロであるための必要十分条件は $P \subset R$ かつ $\Delta(\sigma) \subset \Delta_Q \cup \Delta_R$ であり、このとき像は $I_R(P,\sigma,Q \cap R)$ に等しい。
• $I(P,\sigma,Q)$ が $R_R$ によって写された像が非ゼロであるための必要十分条件は $Q \subset R$ であり、このとき像は $I_R(P,\sigma,Q)$ に等しい。
• 超特異 $\mathcal{H}$-加群 $\pi$ に対して左随伴函手 $L_P$ が消えるのは、$\pi(z_\mathcal{O}^n) = 0$ となる $n$ が存在し、$E_{o_-}(\lambda)$ の作用が関与するためである。
• 右随伴函手 $R_P$ も、$j_{P'}^+$ の作用とイデムポテン $E_{o_-}(\lambda)$ の作用を用いた同様の議論により、任意の超特異 $\mathcal{H}$-加群 $\pi$ に対して消える。
• これらの結果により、単純 $\mathcal{H}$-加群間の拡張群の計算が、随伴同型 $\operatorname{Ext}^i(\pi, I_P(\sigma)) \simeq \operatorname{Ext}^i(L_P(\pi), \sigma)$ を用いて、一般化された Steinberg 加群の拡張群の計算に還元可能になる。