[論文レビュー] Parabolic Set Simulation for Reachability Analysis of Linear Time Invariant Systems with Integral Quadratic Constraint

Paul Rousse, Pierre-Loïc Garoche+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2019

Fault Detection and Control Systems参考文献 30被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、積分二次制約（IQC）を満たす線形時不変（LTI）システムの到達可能性解析のための放物面集合シミュレーション手法を提案する。時間変動する放物面近似を用い、微分リッカティ方程式（DRE）を含む初期値問題の解を通じて、到達集合境界に接する軌道を特定する。この手法により、安定・不安定な両システムに対して、安定的かつスケーラブルで有界な上界近似が可能となり、従来の楕円体法に比べて複雑な制約をより効果的に扱える。

ABSTRACT

This work extends reachability analyses based on ellipsoidal techniques to Linear Time Invariant (LTI) systems subject to an integral quadratic constraint (IQC) between the past state and disturbance signals , interpreted as an input-output energetic constraint. To compute the reachable set, the LTI system is augmented with a state corresponding to the amount of energy still available before the constraint is violated. For a given parabolic set of initial states, the reachable set of the augmented system is overapproximated with a time-varying parabolic set. Parameters of this paraboloid are expressed as the solution of an Initial Value Problem (IVP) and the overapproximation relationship with the reachable set is proved. This paraboloid is actually supported by the reachable set on so-called touching trajectories. Finally , we describe a method to generate all the supporting paraboloids and prove that their intersection is an exact characterization of the reachable set. This work provides new practical means to compute overapproximation of reachable sets for a wide variety of systems such as delayed systems, rate limiters or energy-bounded linear systems.

研究の動機と目的

• 積分二次制約（IQC）を満たすLTIシステムの到達集合の有効な特徴付けが不足している問題に対処すること。IQCは遅延、出力レート制限、エネルギー制限をモデル化する。
• 楕円体法を超えるセットベースシミュレーション技術を、非凸および不安定なシステムに対してもIQC制約下で適用可能にする。
• 放物面包絡線を用いて、有界な上界近似を保証するスケーラブルで数値的に安定した方法を開発すること。
• HJB法やモーメントベース法がスケーラビリティの問題により計算不能となる大規模システムに対しても、実用的な到達可能性解析を可能にすること。

提案手法

• IQCに含まれる積分項を状態変数として追加することで、LTIシステムを拡張し、制約を状態空間形式に変換する。
• 到達集合の境界に接する「接触軌道」を満たす時間変動する放物面近似を構築する。
• 各放物面のパrameterは、微分リッカティ方程式（DRE）を含む初期値問題（IVP）の解から導出され、到達集合との密着性と接触性を保証する。
• 到達集合は、非可算個のこのような支持放物面の共通部分として表現され、実用的な近似には有限個の放物面を用いる。
• 符号不確定な解に対しても適用可能な、チャンドラセカール法に基づく数値積分スキームをDREの解法に適応する。
• 計算された放物面の共通部分を包む最小体積の放物面を計算するアルゴリズムを提案し、計算効率を向上させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 放物面近似は、IQC制約下での到達可能性解析において、楕円体法に比べてよりタイトでスケーラブルな代替手段を提供できるか？
• RQ2 時間変動する放物面をどのようにパrameter化すれば、到達集合境界に接しながらもIQCを満たすことができるか？
• RQ3 不安定なLTIシステムに対して、IQC制約下で上界近似の有界性と存在性を保証する条件は何か？
• RQ4 従来のHJB法やモーメントベース法が計算不能となる大規模システムに対しても、この手法をどのように適応できるか？
• RQ5 本手法を複数のIQCを有するシステム、または2ノルムと∞ノルムの混合制約を持つシステムに拡張できるか？

主な発見

• 本手法は、時間変動する放物面を用いて、IQC制約下のLTIシステムの到達集合を、不安定なシステムに対しても有効に上界近似できる。
• 到達集合は、各接触軌道に対応する非可算個の支持放物面の共通部分として正確に表現できる。
• スケーリング関数および初期パrameterの適切な選択により、上界近似の有界性が保証される。
• 数値結果から、100状態未満のシステムでは、本手法がHJB法やモーメントベース法に比べて計算効率に優れていることが示された。
• 実装はオープンソースであり、符号不確定な解に対しても適用可能な修正版チャンドラセカール法を用いてDREを解いている。
• 最小体積包摂放物面の計算が可能となり、計算コストを削減しながらもタイトさを維持できる。