[論文レビュー] Parabolic smoothing effect and local well-posedness of fifth order semilinear dispersive equations on the torus

Kotaro Tsugawa|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2017

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 19被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、非線形項の構造に関連する放物型滑らかさ効果を導入することで、トーラス上における五番目の順序の非線形分散型方程式の局所的well-posednessを確立する。非線形項が関数的 $ P_N $ を用いて定義される共鳴条件を満たす場合、解は時間全域で完全な正則性を保ちながら存在する。それ以外の場合は、解は時間前方または後方でのみ存在し、放物型に類似した滑らかさ効果を示すが、粗い初期データでは存在しない。

ABSTRACT

We consider the Cauchy problem of fifth order dispersive equations on the torus. We assume that the initial data is sufficiently smooth and the nonlinear term is a polynomial depending on $\partial_x^3 u, \partial_x^2 u, \partial_x u$ and $u$. We prove that the local well-posedness holds on $[-T,T]$ when the nonlinear term satisfies a condition and otherwise, the local well-posedness holds with a smoothing effect only on either $[0,T]$ or $[-T,0]$ and nonexistence result holds on the other time interval, which means that the nonlinear term can not be treated as a perturbation of the linear part and the equation has a property of parabolic equations by an influence of the nonlinear term. As a corollary, we also have the same results for $(2j+1)$-st order dispersive equations.

研究の動機と目的

• トーラス上における滑らかな初期データを伴う五番目の順序の非線形分散型方程式の局所的well-posednessを分析すること。
• 非線形項を関数的 $ P_N $ を用いて分類し、非放物型共鳴型と放物型共鳴型に区別すること。
• 異なる共鳴条件の下で解の存在、一意性、初期データへの連続的依存性を確立すること。
• 放物型共鳴が時間非対称な解と放物型PDEに類似した滑らかさ効果を引き起こすことを示すこと。

提案手法

• 解の微分まで3階までを含む関数的 $ P_N(f) $ を定義し、非線形項 $ N $ の共鳴構造を捉える。
• この関数的を用いて、非線形項を非放物型共鳴型（$ P_N \not\to 0 $）または放物型共鳴型（$ P_N \to 0 $）に分類する。
• 周波数空間における非線形相互作用を制御するため、エネルギー推定と正規形法を用いる。
• 4階の散乱項を含む放物型正則化法を用いて滑らかさ推定を導出する。
• Sobolev空間における反復スキームとエネルギー法を組み合わせることで、時間局所的な存在と一意性を確立する。
• 放物型共鳴の場合に粗い初期データに対して解が存在しないことを、解の時間正則性を用いた背理法により証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形項がどのような条件下で、正負の時間区間において五番目の順序分散型方程式が局所的well-posednessを満たすか？
• RQ2 関数的 $ P_N $ は、解が放物型滑らかさを示すか、標準的な分散的挙動を示すかをどのように決定するか？
• RQ3 初期データが滑らかでない場合、非線形項が放物型共鳴型であると解はどのように変化するか？
• RQ4 放物型共鳴領域において、方程式を正則化することで滑らかな解を回復できるか？
• RQ5 存在性と滑らかさの時間非対称性は、$ P_N(\varphi) $ の符号に依存するか？

主な発見

• 非放物型共鳴型（$ P_N \equiv 0 $）では、$ s \geq 13 $ に対して $ [-T,T] $ 上で局所的well-posednessが成り立ち、解は $ C([-T,T];H^s) $ に属し、初期データへの連続的依存性が保証される。
• 放物型共鳴型（$ P_N \not\equiv 0 $）では、$ P_N(\varphi) > 0 $ であれば $ [0,T] $ 上、$ P_N(\varphi) < 0 $ であれば $ [-T,0] $ 上にのみ解が存在し、区間内部で $ C^\infty $ 正則性を示す。
• 放物型共鳴型の解は、放物型滑らかさ効果を示し、初期データが $ H^s $ に属するだけであっても、$ (0,T] $ または $ [-T,0) $ で $ C^\infty $ にまで滑らかになる。
• 初期データが $ \varphi \not\in C^\infty $ である場合、$ P_N(\varphi) < 0 $ であれば $ C([0,T];H^{13}) $ に、$ P_N(\varphi) > 0 $ であれば $ C([-T,0];H^{13}) $ に解が存在しないことが証明される。
• 放物型正則化法を用いて、$(2j+1)$ 階の分散型方程式に対しても同様の二分岐的well-posednessと滑らかさの性質が拡張可能である。
• 時間間隔 $ T $ は $ P_N(\varphi) $ と $ \|\varphi\|_{H^{12}} $ に依存しており、共鳴効果の強さに依存することが示された。