[論文レビュー] Parabolic subgroups acting on the additional length graph

Yago Antolín, María Cumplido|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2021

Geometric and Algebraic Topology参考文献 16被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、非可約アーティン＝ティツ群の球面型（A1, A2, I2mを除く）に対して、周期的要素および放物型部分群を保存する要素が追加長グラフ（CAL(A)）上で楕円的（elliptically）に作用することを確立する。この結果を用いて、任意の真の標準的パラボリック部分群Pに対して自由積 ⟨P, g*⟩ ≅ P ∗ ⟨g*⟩ を与える一様に有界なガルサイ長さを持つ要素g*を構成し、Artin生成子とは対照的に、ブレード群におけるガルサイ生成子に関する指数的成長率が無限大に発散することを証明する。

ABSTRACT

Let A ≠ A1;A2;I2m be an irreducible Artin–Tits group of spherical type. We show that the periodic elements of A and the elements preserving some parabolic subgroup of A act elliptically on the additional length graph CAL(A), a hyperbolic, infinite diameter graph associated to A constructed by Calvez and Wiest to show that A/Z(A) is acylindrically hyperbolic. We use these results to find an element g ∈ A such that <P,g> ≅ P * <g> for every proper standard parabolic subgroup P of A. The length of g is uniformly bounded with respect to the Garside generators, independently of A. This allows us to show that, in contrast with the Artin generators case, the sequence ω(An,S)(with n ∈ N) of exponential growth rates of braid groups, with respect to the Garside generating set, goes to infinity.

研究の動機と目的

• ブレード群に関するCalvezとWiestの結果を、非可約球面型アーティン＝ティツ群へ拡張すること。
• 周期的要素およびパラボリック部分群を保存する要素が追加長グラフCAL(A)上で楕円的（elliptically）に作用することを証明すること。
• 任意の真の標準的パラボリック部分群Pに対して自由積 ⟨P, g*⟩ ≅ P ∗ ⟨g*⟩ を満たす一様に有界なガルサイ長さを持つ単一の要素g*を構成すること。
• ガルサイ生成子に関するアーティン＝ティツ群の指数的成長率が無限大に発散することを示し、Artin生成子における有限成長とは対照的であること。

提案手法

• 双曲性と軌道径路の有界性を用いて、周期的要素およびパラボリック部分群を保存する要素がCAL(A)上で楕円的（elliptically）に作用することを証明する。
• CAL(A)の一様双曲的定数と軌道径路の有効な有界性を用いて、すべての真のパラボリック部分群に対して共通の自由積補完要素g*を構成する。
• ガルサイ生成子に関するAのケイリ図形へのパラボリック部分群の等長埋め込みを活用する。
• 生成関数とFeketeの補題を用いて、部分群と全体群の相対的成長率を比較する。
• 同型 ⟨AX, g*⟩ ≅ AX ∗ ⟨g*⟩ を用いて、全体群の成長率に対する下界を導出する。
• 系列 1 − αx − x^K の根を用いて、指数的成長率の下界を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可約球面型アーティン＝ティツ群（A1, A2, I2mを除く）に対して、周期的要素およびパラボリック部分群を保存する要素は、追加長グラフCAL(A)上で楕円的（elliptically）に作用するか？
• RQ2 すべての真の標準的パラボリック部分群Pに対して ⟨P, g*⟩ ≅ P ∗ ⟨g*⟩ を満たす一様に有界なガルサイ長さを持つ単一の要素g*が存在するか？
• RQ3 ブレード群Anのガルサイ生成集合に関する指数的成長率 {ω(An, S±1An)}n∈N はnの増加とともに無限大に発散するか？
• RQ4 ガルサイ生成子を用いた場合、真のパラボリック部分群の相対的成長率は、全群Aのそれと比べてどうなるか？
• RQ5 ガルサイ生成集合に関して、全群とそのパラボリック部分群の成長率の関係は何か？

主な発見

• 非可約球面型アーティン＝ティツ群（A1, A2, I2mを除く）に対して、周期的要素および複体における非可約パラボリック部分群の単体を保存する要素は、追加長グラフCAL(A)上で楕円的（elliptically）に作用する。
• 任意のこのようなアーティン＝ティツ群Aに対して、ガルサイ長さがK以下のA+の要素g*が存在し、任意の真の標準的パラボリック部分群AXに対して ⟨g*, AX⟩ ≅ ⟨g*⟩ ∗ AX が成り立つ定数Kが存在する。
• 任意の真のパラボリック部分群AXについて、ガルサイ生成集合に関する相対的指数的成長率は、全群Aのそれよりも厳密に小さい： ω(AX, S±1A) < ω(A, S±1A)。
• ブレード群のガルサイ生成集合に関する指数的成長率の系列 {ω(An, S±1An)}n∈N は厳密に増加し、有界でなく、無限大に発散する。
• 同様に、正の元のモノイドに対しても同様の発散が成り立つ： {ω(A+n, SAn)}n∈N は厳密に増加し、有界でない。
• 自由積 ⟨AX, g*⟩ の成長率はAX単体のそれよりも厳密に大きく、この下界は環境群のサイズに応じて増加し、結果として全体の成長率が発散することにつながる。