[論文レビュー] Paradoxes of differential nonlocal cantilever beams: Reasons and a novel solution

Mohamed Shaat, S. Faroughi+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2017

Nonlocal and gradient elasticity in micro/nano structures参考文献 42被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、反復的非局所残差法を導入することで、微分型非局所はりモデルにおけるパラドックスを解消した。この手法は、事前に定めた局所場に基づいて反復的に形成される非局所残差を通じて、局所的境界条件を適用する。この方法により、積分型非局所モデルと同一の結果が得られ、静的な曲げおよび自由振動解析における非局所境界条件の不整合性が効果的に解消された。

ABSTRACT

The paradoxes of differential nonlocal models have been attributed to the inconsistency in forming the nonlocal boundary conditions. To overcome these paradoxes, nonlocal boundary conditions should be correctly formed. However, still forming these boundary conditions for differential nonlocal models is a challenging task. To resolve the trouble, in this study, the iterative nonlocal residual approach is employed. In the context of this approach, the field equation is solved in the local field with an imposed nonlocal residuals. This nonlocal residual is iteratively formed (not determined) depending on a pre-determined local field. The iterative nonlocal residual approach permits applying the local boundary conditions. Thus, the paradoxes of differential nonlocal models due to the nonlocal boundary conditions are effectively solved. The paradoxes of differential nonlocal models and reasons behind them are discussed. Moreover, a nonlocal beam model based on the iterative nonlocal residual approach is proposed. This nonlocal beam model is employed to investigate the static bending and free vibration of differential nonlocal cantilever beams. Comparisons between the results of the iterative nonlocal residual approach and results of integral nonlocal beam models are carried out. It is demonstrated that the iterative nonlocal residual approach gives the same results as integral nonlocal models.

研究の動機と目的

• 微分型非局所はりモデルにおける不一致な非局所境界条件に起因するパラドックスを特定し、解消すること。
• 既存の微分型非局所定式化が抱える不整合を回避する、非局所境界条件を定式化するための堅牢な手法を開発すること。
• 反復的非局所残差法に基づく非局所はりモデルを提案し、局所境界条件と整合性を保つこと。
• 提案手法の結果を確立された積分型非局所はりモデルの結果と比較することで、妥当性を検証すること。
• 非局所はりモデルの反復的非局所残差法が、静的曲げおよび自由振動問題において、どのように機能するかを示すこと。

提案手法

• 反復的非局所残差法は、局所領域における場の式を解きながら、事前に定められた局所場に基づいて反復的に形成される非局所残差を適用する。
• 非局所残差は直接規定されず、局所場応答に基づいて繰り返し反復することで形成される。
• 局所境界条件を直接適用することで、便宜的な非局所境界条件の定式化の必要がなくなる。
• 反復的に残差項を精緻化することで、非局所効果の整合性が保証される。
• この手法は、はりの静的曲げおよび自由振動解析のための非局所はりモデルに実装された。
• 精度および整合性を検証するため、結果は積分型非局所はりモデルと比較された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ微分型非局所モデルははりの固定端問題においてパラドキシカルな結果を生じるのか？
• RQ2 微分型非局所モデルにおける非局所境界条件定式化の不整合の原因は何か？
• RQ3 非局所積分作用素自体の問題ではなく、非局所境界条件の不適切な定式化がパラドックスの根本的原因である。
• RQ4 非局所はりモデルを、微分型定式化の簡便さを保ちつつ、パラドックスを回避できるように開発できるか？
• RQ5 反復的非局所残差法は、積分型非局所モデルと同等の結果をもたらすか？
• RQ6 提案手法は、非局所はりの静的曲げおよび自由振動解析において、どのように機能するか？

主な発見

• 反復的非局所残差法は、事前に定められた局所場に基づいて反復的に形成される非局所残差を通じて、非局所効果を適切に定式化することにより、微分型非局所はりモデルにおけるパラドックスを効果的に解消した。
• この手法により、局所境界条件を直接適用でき、長年の非局所境界条件の不整合問題が解決された。
• 反復的非局所残差法の結果は、積分型非局所はりモデルの結果と数値的に同一であった。
• 提案された非局所はりモデルは、さまざまな荷重および境界条件下でのはりの静的たわみおよび固有振動数を正確に予測できた。
• この手法は静的曲げおよび自由振動解析の両方において、頑健性と整合性を示し、信頼性が裏付けられた。
• 本研究により、パラドックスの根本原因は非局所積分作用素自体ではなく、非局所境界条件の不適切な定式化にあることが確認された。