[論文レビュー] Parallel Computation of Finite Element Navier-Stokes codes using MUMPS Solver

Mandhapati Raju|ArXiv.org|Oct 9, 2009

VLSI and FPGA Design Techniques参考文献 11被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、2次元および3次元問題に生じるスパース線形系を解くためにMUMPS直接線形ソルバを用いた、有限要素法によるナビエ＝ストークス方程式の並列実装を提示する。MUMPSのメモリ使用量およびCPU時間に関する性能を評価し、分散メモリアーキテクチャ上でのニュートン法および修正ニュートン法のスケーラビリティを示し、多階層的ソルバが高メモリ要件にもかかわらず計算効率を達成できることを示している。

ABSTRACT

The study deals with the parallelization of 2D and 3D finite element based Navier-Stokes codes using direct solvers. Development of sparse direct solvers using multifrontal solvers has significantly reduced the computational time of direct solution methods. Although limited by its stringent memory requirements, multifrontal solvers can be computationally efficient. First the performance of MUltifrontal Massively Parallel Solver (MUMPS) is evaluated for both 2D and 3D codes in terms of memory requirements and CPU times. The scalability of both Newton and modified Newton algorithms is tested.

研究の動機と目的

• 直接ソルバを用いた有限要素ナビエ＝ストークスコードの効率的並列計算を可能にすること。
• MUltifrontal Massively Parallel Solver (MUMPS) の、メモリ要件およびCPU時間の観点での性能を評価すること。
• 2次元および3次元有限要素離散化に適用した場合のニュートン法および修正ニュートン法のスケーラビリティを評価すること。
• 高メモリ要件にもかかわらず、大規模ナビエ＝ストークスシミュレーションにおける多階層的ソルバの実用性と効率性を調査すること。

提案手法

• 研究では、有限要素法によるナビエ＝ストークス方程式の離散化から生じるスパース行列に対して、MUMPSソルバを直接線形系ソルバとして採用する。
• 2次元および3次元問題の両方に対して有限要素法を適用し、運動量方程式および連続の式の弱形式をガラーキン近似によって解く。
• 得られた非線形系を解くためにニュートン法および修正ニュートン法を用い、ヤコビ行列の線形系はMUMPSを用いて並列で解く。
• MPIベースの領域分割を用いて並列化を実現し、スパース行列および解ベクトルを複数のプロセッサに分散する。
• CPU時間およびメモリ使用量といったパフォーマンス指標を、問題サイズおよびプロセッサ数の変動に応じて収集・分析する。
• スケーラビリティの評価は、プロセッサ数を増加させた際の解法時間および効率を測定することで行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元および3次元有限要素ナビエ＝ストークス問題において、MUMPSソルバのメモリ消費量およびCPU時間の性能はいかがであるか？
• RQ2 MUMPSを用いて線形系を解く場合、ニュートン法は複数プロセッサ間でどの程度スケーラブルか？
• RQ3 この文脈において、修正ニュートン法は標準ニュートン法と比較して、スケーラビリティおよびパフォーマンスでどのように異なるか？
• RQ4 高メモリ要件があるにもかかわらず、MUMPSのような多階層的直接ソルバは大規模流体力学シミュレーションで許容可能な計算効率を達成できるか？
• RQ5 問題の次元性（2次元対3次元）は、この応用分野におけるMUMPSのパフォーマンスおよびスケーラビリティにどのような影響を及ぼすか？

主な発見

• MUMPSは2次元および3次元有限要素ナビエ＝ストークスコードにおいて、プロセッサ数の増加に伴いCPU時間が顕著に短縮されるという、効果的な並列性能を示した。
• 複数のプロセッサ構成においてニュートン法のスケーラビリティが確認され、良好な負荷分散および通信効率が示された。
• 修正ニュートン法は標準ニュートン法と同等のスケーラビリティを示し、1反復あたりの計算コストがわずかに低減された。
• メモリ要件は依然として制限要因であったが、多階層的ソルバの使用により、反復法と比較して収束が速くなった。
• 本研究では、直接解法の正確性およびロバスト性を優先する大規模有限要素シミュレーションにおいて、MUMPSが実用的であることが確認された。
• パフォーマンスのトレンドから、問題サイズおよびメッシュ解像度が絶対的解法時間に顕著な影響を及ぼすことが示されたが、相対的なスケーラビリティはあらゆる構成で維持された。