[論文レビュー] Parallel, Distributed, and Quantum Exact Single-Source Shortest Paths with Negative Edge Weights

Vikrant Ashvinkumar, Aaron Bernstein+6 more|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2023

Complexity and Algorithms in Graphs被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、仮想ソースを用いた非負重みSSSPアルゴリズムへのno(1)回の呼び出しに帰着することで、並列、分散、量子モデルにおける負の辺重みを伴う正確な単一始点最短経路（SSSP）を統一的に解くフレームワークを提示する。主な貢献は、有向グラフにおける低径路長分解（LDD）への効率的帰着であり、3つのモデルすべてにおいて近似的最適な作業量、スパン、ラウンド数、クエリ複雑性を達成し、到達可能性の現在の最良境界とno(1)要因の違いを除いて一致する。

ABSTRACT

This paper presents parallel, distributed and quantum algorithms for single-source shortest paths when edges can have negative weights (negative-weight SSSP). We show a framework that reduces negative-weight SSSP in all these setting to $n^{o(1)}$ calls to any SSSP algorithm that works with a virtual source. More specifically, for a graph with $m$ edges, $n$ vertices, undirected hop-diameter $D$, and polynomially bounded integer edge weights, we show randomized algorithms for negative-weight SSSP with (i) $W_{SSSP}(m,n)n^{o(1)}$ work and $S_{SSSP}(m,n)n^{o(1)}$ span, given access to an SSSP algorithm with $W_{SSSP}(m,n)$ work and $S_{SSSP}(m,n)$ span in the parallel model, (ii) $T_{SSSP}(n,D)n^{o(1)}$, given access to an SSSP algorithm that takes $T_{SSSP}(n,D)$ rounds in $\mathsf{CONGEST}$, (iii) $Q_{SSSP}(m,n)n^{o(1)}$ quantum edge queries, given access to a non-negative-weight SSSP algorithm that takes $Q_{SSSP}(m,n)$ queries in the quantum edge query model. This work builds off the recent result of [Bernstein, Nanongkai, Wulff-Nilsen, FOCS'22], which gives a near-linear time algorithm for negative-weight SSSP in the sequential setting. Using current state-of-the-art SSSP algorithms yields randomized algorithms for negative-weight SSSP with (i) $m^{1+o(1)}$ work and $n^{1/2+o(1)}$ span in the parallel model, (ii) $(n^{2/5}D^{2/5} + \sqrt{n} + D)n^{o(1)}$ rounds in $\mathsf{CONGEST}$, (iii) $m^{1/2}n^{1/2+o(1)}$ quantum queries to the adjacency list or $n^{1.5+o(1)}$ quantum queries to the adjacency matrix. Our main technical contribution is an efficient reduction for computing a low-diameter decomposition (LDD) of directed graphs to computations of SSSP with a virtual source. Efficiently computing an LDD has heretofore only been known for undirected graphs in both the parallel and distributed models.

研究の動機と目的

• 負の辺重みを伴う正確な単一始点最短経路（SSSP）のための効率的な並列、分散、量子アルゴリズムの設計。
• 3つのモデルすべてにおいて、負の重みSSSPを仮想ソースを用いた非負重みSSSPアルゴリズムへのno(1)回の呼び出しに帰着すること。
• 有向低径路長分解（LDD）から非負重みSSSPへの新しい帰着を構築し、これらのモデルにおける効率的な計算を可能にすること。
• これらのモデルにおける到達可能性の最良既知の複雑性境界と同等またはほぼ同等の境界を達成すること。これにより、負の重みSSSPにおける改善は、到達可能性の改善を意味することを示唆する。
• CONGESTモデルにおける未解決問題を解決し、強連結成分（SCCs）の計算を仮想ソースを用いたSSSPに帰着できることを示し、[7]で提起された問いに否定的に答えること。

提案手法

• フレームワークは、仮想ソースを用いた非負重みSSSPアルゴリズムへのno(1)回の呼び出しに負の重みSSSPを帰着し、有向低径路長分解（LDD）から非負重みSSSPへの新しい帰着を活用する。
• 有向グラフにおけるLDDを計算する新しいアルゴリズムが導入され、これはコア技術的貢献であり、3つのモデルすべてにおける帰着を可能にする。
• Bernsteinら[8]のスケーリングアルゴリズムの再帰構造を再設計し、並列および分散設定に適応させ、モデル固有の課題を克服する。
• 強連結成分（SCCs）の計算から仮想ソースを用いたSSSPへの効率的帰着を設計し、[7]で提起された問いに否定的に答えること。
• 各モデルに特化した技術を用いてアーキテクチャを統合：並列モデルでは作業量／スパン、CONGESTモデルではラウンド数、量子モデルでは量子エッジクエリを用い、すべてno(1)のオーバーヘッドで実装される。
• 正しさと効率性を反復処理全体にわたって維持するために、最短経路オラクルとサブルーチン合成（例：ScaleDown、FixDAGEdges、EstDist）を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非負重みSSSPアルゴリズムへのブラックボックスアクセスのみを用いて、並列、分散、量子モデルにおける負の重みSSSPを効率的に解くことは可能か？
• RQ2 3つのモデルすべてにおいて、有向低径路長分解（LDD）を仮想ソースを用いた非負重みSSSPに帰着することは可能か？
• RQ3 非負重みSSSPがサブルーチンとして利用可能である場合、負の重みSSSPを解くために必要な最小限のオーバーヘッド（作業量、ラウンド数、クエリ数の観点で）は何か？
• RQ4 負の重みSSSPの複雑性を、これらのモデルにおいて到達可能性の複雑性と漸近的に同等にできるか、no(1)要因の違いを除いて？
• RQ5 CONGESTモデルにおけるSCC計算から仮想ソースを用いたSSSPへの帰着は、[7]で提起された未解決問題を解決するか？

主な発見

• 並列モデルでは、作業量がm1+o(1)、スパンがn1/2+o(1)に達し、到達可能性の現在の最良境界とno(1)要因の違いを除いて一致する。
• CONGESTモデルでは、(n2/5D2/5 + √n + D)no(1)ラウンドで実行され、到達可能性の最良既知境界とno(1)要因の違いを除いて一致する。
• 量子モデルでは、隣接リストに対してm1/2n1/2+o(1)回のクエリ、隣接行列に対してn1.5+o(1)回のクエリを実行し、既知の量子下界とno(1)要因の違いを除いて一致する。
• 有向LDDアルゴリズムは、並列および分散モデルにおける有向グラフ用の最初の効率的構築法であり、以前は無向グラフでのみ知られていた。
• CONGESTモデルにおけるSCC計算から仮想ソースを用いたSSSPへの帰着は、[7]で提起された未解決問題に否定的に答え、このような帰着が可能であることを示している。
• フレームワークは、これらのモデルにおいて負の重みSSSPの改善がno(1)要因の違いを除いて、到達可能性の最良既知境界の改善を意味することを示している。