[論文レビュー] Parallel Graph Connectivity in Log Diameter Rounds

Alexandr Andoni, Clifford Stein+3 more|arXiv (Cornell University)|May 8, 2018

Parallel Computing and Optimization Techniques参考文献 4被引用数 33

ひとこと要約

この論文は、マス・パラレルコンputation（MPC）モデルにおけるグラフ連結性のための新しい並列アルゴリズムを提示している。直径$D$を用いて$O(\log D \cdot \log \log_{m/n}n)$ラウンドで実行され、合計$\Theta(m)$のメモリを用いる。古典的なPRAMモデルの$O(\log n)$の境界を著しく上回る、複数段階の還元を用いた二重指数的高速化技術を導入している。

ABSTRACT

We study graph connectivity problem in MPC model. On an undirected graph with $n$ nodes and $m$ edges, $O(\log n)$ round connectivity algorithms have been known for over 35 years. However, no algorithms with better complexity bounds were known. In this work, we give fully scalable, faster algorithms for the connectivity problem, by parameterizing the time complexity as a function of the diameter of the graph. Our main result is a $O(\log D \log\log_{m/n} n)$ time connectivity algorithm for diameter-$D$ graphs, using $Θ(m)$ total memory. If our algorithm can use more memory, it can terminate in fewer rounds, and there is no lower bound on the memory per processor. We extend our results to related graph problems such as spanning forest, finding a DFS sequence, exact/approximate minimum spanning forest, and bottleneck spanning forest. We also show that achieving similar bounds for reachability in directed graphs would imply faster boolean matrix multiplication algorithms. We introduce several new algorithmic ideas. We describe a general technique called double exponential speed problem size reduction which roughly means that if we can use total memory $N$ to reduce a problem from size $n$ to $n/k$, for $k=(N/n)^{Θ(1)}$ in one phase, then we can solve the problem in $O(\log\log_{N/n} n)$ phases. In order to achieve this fast reduction for graph connectivity, we use a multistep algorithm. One key step is a carefully constructed truncated broadcasting scheme where each node broadcasts neighbor sets to its neighbors in a way that limits the size of the resulting neighbor sets. Another key step is random leader contraction, where we choose a smaller set of leaders than many previous works do.

研究の動機と目的

• MPCモデルにおける、古典的なPRAMアルゴリズムを上回る、より高速で完全にスケーラブルな連結性アルゴリズムの設計。
• グラフの直径$D$にパラメータライズすることにより、連結性の時間計算量を$O(\log n)$ラウンド未満に低下させること。
• 合計メモリ$N$を用いて、並列グラフアルゴリズムにおける問題サイズの急速な縮小を実現する一般化可能な技術の開発。
• スパニングフォレスト、DFS列、最小スパニングフォレストなどの関連問題へのアプローチの拡張。
• 高速な有向グラフ到達可能性と、高速なブール行列積との間の関係の確立。

提案手法

• 二重指数的高速化技術を導入：問題サイズ$n$が$N$の合計メモリを用いて1フェーズで$n/k$に還元可能であり、$k = (N/n)^{\Theta(1)}$である場合、問題は$O(\log \log_{N/n}n)$フェーズで解ける。
• 通信中にノードが隣接ノード集合の拡大を制御するため、ノード数の増加を抑える「切断されたブロードキャスト」スキームを採用。
• ランダムサンプリングよりも効率的にリーダー数を削減できる、最小親森に基づくリーダー選択を用いる。これにより、初期段階での進捗が著しく速くなる。
• 木の収縮と隣接ノードの増分操作を用いて、フェーズ間で連結性情報を維持。
• 複数の局所的最短経路木と経路生成技術を組み合わせ、スパニングフォレスト構築を支援。
• 範囲最小クエリとDFS列生成を用いて、木におけるLCAと経路クエリをサポート。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 MPCモデルにおいて、直径が小さいグラフに対して、$o(\log n)$ラウンドで連結性を解けるか？
• RQ2 MPCにおける連結性の最適な、メモリ使用量とラウンド複雑度のトレードオフは何か？
• RQ3 二重指数的高速化技術は、他のグラフ問題へ一般化可能か？
• RQ4 実際の連結性処理において、最小親森に基づくリーダー選択はランダムリーダー選択と比べてどのように性能を発揮するか？
• RQ5 有向グラフにおける高速な到達可能性が、高速なブール行列積を意味するか？

主な発見

• 提案されたアルゴリズムは、合計$\Theta(m)$のメモリを用いて、無向グラフの連結性を$O(\log D \cdot \log \log_{m/n}n)$ラウンドで実行できる。
• $r \geq c \cdot \log \log_{m/n}n$ラウンド（十分に大きな定数$c$）の場合、アルゴリズムは確率$2/3$以上で成功し、高確率で失敗を回避する。
• 最小親森に基づくリーダー選択法は、$m = \Theta(n)$の場合に特に顕著に、ランダムサンプリングよりも高速な初期段階の進捗を実現する。
• スパニングフォレスト、DFS列、最小スパニングフォレストの計算に対しても、同様のラウンド複雑度で拡張可能である。
• MPCにおける高速な有向グラフ到達可能性アルゴリズムが得られれば、高速なブール行列積が得られることを示しており、強力な計算複雑度的関係を確立している。
• 二重指数的高速化技術により、問題サイズの縮小が可能となり、$\log \log_{N/n}n$の観点から対数未満のラウンド複雑度が達成される。