[論文レビュー] Parallel Graph Decompositions Using Random Shifts

Gary L. Miller, Richard Peng+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 14, 2013

Graph Theory and Algorithms参考文献 16被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、無向無重みグラフを低径路長の部分グラフに分解する簡素で効率的な並列アルゴリズムを提示する。ランダムシフトを用いて、シフトされた最短経路によって並列的なボール成長プロセスを誘導することで、(β, O(log n / β))分解に対してO(log²n / β)の深さとO(m)の作業量を達成する。これは、最良の逐次的保証と同等でありながら、より単純化されている。

ABSTRACT

We show an improved parallel algorithm for decomposing an undirected unweighted graph into small diameter pieces with a small fraction of the edges in between. These decompositions form critical subroutines in a number of graph algorithms. Our algorithm builds upon the shifted shortest path approach introduced in [Blelloch, Gupta, Koutis, Miller, Peng, Tangwongsan, SPAA 2011]. By combining various stages of the previous algorithm, we obtain a significantly simpler algorithm with the same asymptotic guarantees as the best sequential algorithm.

研究の動機と目的

• 無向無重みグラフにおける低径路長グラフ分解の、より単純で作業効率の良い並列アルゴリズムの設計。
• 従来のボール成長法における逐次的ボトルネックを克服し、ランダムシフトを用いて並列的なパーツ構築を可能にする。
• 最良の逐次的アルゴリズムと同等の漸近的性能を達成しつつ、多対数の深さとほぼ線形の作業量を維持する。
• 下位の分解サブルーチンの改善により、対称的対角優勢（SDD）線形システムのより高速な並列ソルバーを支援する。

提案手法

• 各頂点uに対して独立なランダムシフトδuを用意し、シフトされた距離dist−δ(u,v) = dist(u,v) − δvを定義する。
• 中心への最小シフト距離に基づいて頂点がクラスタに割り当てられ、並列最短経路計算によってパーティションが形成される。
• シフトされた最短経路計算は、PRAMモデルを活用して、深さO(log²n / β)、作業量O(m)の並列BFSによって実装される。
• ランダムシフトのおかげで、各クラスタの強い径路長が高確率でO(log n / β)に抑えられる。
• 同点の処理はδuの小数部によって行われ、浮動小数点演算を避けるためにランダム順列にエミュレート可能である。
• 有効な(β, O(log n / β))分解が得られるまで繰り返し実行され、成功確率が高いため期待される反復回数はO(1)である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最良の逐次的手法の理論的保証と同等の、より単純な並列グラフ分解アルゴリズムを設計できるか？
• RQ2 ボール成長における逐次的依存性をどのように排除し、効率的な並列化を可能にするか？
• RQ3 ランダムシフトは、低強さ径路長と制限されたクラスタ間エッジ数を保証するために果たす役割は何か？
• RQ4 この新しい手法に置き換えることで、SDD線形システムソルバーの性能を向上させられるか？
• RQ5 理論的保証が低下しない範囲で、ランダムシフトをランダム順列に置き換えられる程度はどの程度か？

主な発見

• アルゴリズムはO(log²n / β)の深さとO(m)の作業量で(β, O(log n / β))分解を計算し、既知の最良の逐次的保証と一致する。
• 各反復の成功確率は定数であるため、期待される反復回数はO(1)であり、期待される作業量と深さの上限が得られる。
• シフトされた最短経路距離の性質のおかげで、各クラスタの強い径路長は高確率でO(log n / β)に抑えられる。
• エッジ境界の集中限界を用いた解析により、クラスタ間エッジ数は高確率でβm以下である。
• PRAMモデルにおいて、O(m)の作業量とO(log²n / β)の深さで、並列BFSを用いて効率的に実装可能である。
• ランダムシフトの使用は、計算コストが低くなる可能性がある実用的代替手段として、ランダム順列に置き換え可能である。