[論文レビュー] Parallel mean curvature tori in $CP^{2}$ and $CH^{2}$

Katsuei Kenmotsu|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、非平坦な複素空間形式 $[\mathbb{C}P^2$ および $[\mathbb{C}H^2$ における平行平均曲率をもつトーラスを分類し、任意の such トーラスが平坦かつ完全実であることを証明する。特別な等角座標と一般化されたホフ微分を用いて、非ゼロの平行平均曲率はガウス曲率の消滅を意味し、これらの空間における完全実平坦トーラスに関する既知の結果を用いて明示的な分類が得られる。

ABSTRACT

We explicitly determine tori that have a parallel mean curvature vector, both in the complex projective plane and the complex hyperbolic plane

研究の動機と目的

• 2次元トーラスの等長埋め込みを非平坦な複素空間形式に分類し、非ゼロの平行平均曲率ベクトルをもつものについて。
• このようなトーラスが $[\mathbb{C}P^2$ および $[\mathbb{C}H^2$ 内に存在する場合の幾何学的性質および曲率的性質を特定すること。
• 平坦な $[\mathbb{C}^2$ の設定と比較して、非平坦な場合の複雑さを解消し、このような埋め込みを許すのは平坦かつ完全実なトーラスに限ることを示すこと。
• 一般化されたホフ微分と構造方程式を用いて、第二基本形式および平均曲率ベクトルに対するグローバルな制約を導出すること。

提案手法

• 平行平均曲率ベクトルの幾何に適合した特別な等角座標を導入し、埋め込みの局所的解析を可能にする。
• ユニタリな余枠形式とガウス–コーダージ–リッチ方程式を用いて、ケーラー角 $\alpha$ および複素関数 $a, c$ を用いて曲率と第二基本形式を表現する。
• 一般化されたホフ微分 $\Phi_1 = (8ba - 3\rho\sin^2\alpha)\phi^2$ および $\Phi_2 = \bar{c}\phi^2$ を用い、これらが $M_0$ 上で正則であることを証明する。
• ガウス–ボンネの定理を用いて背理法により非平坦解を除外し、非ゼロの曲率がコンパクト性と矛盾することを示す。
• 対称空間における完全実部分多様体の既知の分類結果（大庭、ウルバノ）を活用し、グローバルな分類を完成させる。
• トーラス上で $a = \bar{a}$ が恒等的に成り立つことを示し、曲率の上限と位相的制約を用いて平坦性および完全実性を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元トーラスが $[\mathbb{C}P^2$ や $[\mathbb{C}H^2$ に非ゼロの平行平均曲率ベクトルをもつ等長埋め込みをもつための必要な幾何学的および曲率的条件は何か？
• RQ2 非平坦な $[\mathbb{C}P^2$ および $[\mathbb{C}H^2$ の性質は、平坦な $[\mathbb{C}^2$ の場合と比較して、このようなトーラスの存在および分類にどのように影響を与えるか？
• RQ3 平行平均曲率ベクトルの条件は、トーラスのガウス曲率を恒等的にゼロに強いることができるか？
• RQ4 正則な二次形式 $\Phi_1$ および $\Phi_2$ は、第二基本形式およびグローバル構造を制約するために果たす役割は何か？

主な発見

• 2次元トーラスが $[\mathbb{C}P^2$ や $[\mathbb{C}H^2$ に非ゼロの平行平均曲率ベクトルをもつ等長埋め込みをもつならば、ガウス曲率は恒等的にゼロでなければならない。
• このようなトーラスは必然的に完全実である。すなわち、環境空間の複素構造が接空間を、像と直交する複素部分空間に写す。
• トーラス上で $a = \bar{a}$ が恒等的に成り立つ。これは第二基本形式の対称性を示し、平坦性に導く。
• 分類は、大庭とウルバノによって確立された $[\mathbb{C}P^2$ および $[\mathbb{C}H^2$ 内の平坦完全実トーラスに関する既知の結果に帰着される。
• 非平坦な場合の解析は、平坦な $[\mathbb{C}^2$ の場合よりも著しく単純であり、平行平均曲率条件を満たすのは平坦かつ完全実なトーラスに限る。
• ガウス–ボンネの定理を用いて非平坦解を除外する。負の曲率の上限は、コンパクトな曲面上での曲率の積分と矛盾する。