[論文レビュー] Parallel Range, Segment and Rectangle Queries with Augmented Maps

Yihan Sun, Guy E. Blelloch|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2018

Computational Geometry and Mesh Generation被引用数 4

ひとこと要約

本論文では、拡張マップを用いた、2次元範囲、セグメント、長方形クエリのための単純で理論的に効率的かつ高並列性を示すフレームワークを提示する。問題を、マルチレベル木またはスイープラインベースのプレフィックス構造を用いた2段階の拡張マップとしてモデル化することで、作成が作業効率的（O(n log n)）かつ多項式対数的並列深さを達成し、出力サイズにほぼ線形に近いクエリ時間となる。実装は、CGAL や Boost ライブラリと比較してクエリ速度で最大1400倍速く、72コアシステムで68倍の並列スループットを達成した。

ABSTRACT

The range, segment and rectangle query problems are fundamental problems in computational geometry, and have extensive applications in many domains. Despite the significant theoretical work on these problems, efficient implementations can be complicated. We know of very few practical implementations of the algorithms in parallel, and most implementations do not have tight theoretical bounds. We focus on simple and efficient parallel algorithms and implementations for these queries, which have tight worst-case bound in theory and good parallel performance in practice. We propose to use a simple framework (the augmented map) to model the problem. Based on the augmented map interface, we develop both multi-level tree structures and sweepline algorithms supporting range, segment and rectangle queries in two dimensions. For the sweepline algorithms, we propose a parallel paradigm and show corresponding cost bounds. All of our data structures are work-efficient to build in theory and achieve a low parallel depth. The query time is almost linear to the output size. We have implemented all the data structures described in the paper using a parallel augmented map library. Based on the library each data structure only requires about 100 lines of C++ code. We test their performance on large data sets (up to $10^8$ elements) and a machine with 72-cores (144 hyperthreads). The parallel construction achieves 32-68x speedup. Speedup numbers on queries are up to 126-fold. Our sequential implementation outperforms the CGAL library by at least 2x in both construction and queries. Our sequential implementation can be slightly slower than the R-tree in the Boost library in some cases (0.6-2.5x), but has significantly better query performance (1.6-1400x) than Boost.

研究の動機と目的

• 理論的に効率的で実用的な2次元範囲、セグメント、長方形クエリの並列アルゴリズムを、タイトな理論的境界を満たすように開発すること。
• 統一された拡張マップ抽象化を用いて、複雑な幾何データ構造の実装を簡素化すること。
• 低オーバーヘッドで高い並列性能を達成し、大規模データセットにおける高速な構築とクエリ処理を可能にすること。
• 理論的保証を維持しながら、CGAL や Boost などの既存ライブラリを上回る順列および並列性能を達成すること。

提案手法

• 範囲、セグメント、長方形クエリを、外側の拡張値を持つマップと、拡張木で実装された内側のマップを有する2段階の拡張マップ構造としてモデル化する。
• 並列拡張マップ（PAM）ライブラリを基盤とし、構築に最適な順列作業と多項式対数的並列深さを実現する。
• 外側のマップに拡張木の代わりにプレフィックス構造を導入し、特定の条件下でO(n^ε)の深さを持つ効率的なスイープラインアルゴリズムを可能にする。
• プレフィックス構造の構築に適した並列パラダイムを設計し、入力関数が特定の性質を満たす場合の理論的コストバウンドを導出する。
• PAMライブラリ上に、各構造に対してC++で約100行のコードで実装し、工学的簡素性を確保する。
• 拡張マップ抽象化を活用して、すべての問題タイプに一貫してリスト全出力、カウント、重み付き和クエリをサポートする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 統一された拡張マップ抽象化は、複雑な幾何データ構造の実装を簡素化しつつ、理論的効率を維持できるか？
• RQ2 並列実行下で、マルチレベル木ベースのアルゴリズムとスイープラインベースのアルゴリズムの構築およびクエリパフォーマンスはどのように比較されるか？
• RQ3 拡張マップフレームワークは、大規模幾何クエリにおいて理論的保証と実用的高パフォーマンスの両方をどの程度達成できるか？
• RQ4 提案された実装のパフォーマンスは、CGAL や Boost といった既存のライブラリと比較して、順列および並列設定の両方でどの程度異なるか？
• RQ5 出力サイズがクエリパフォーマンスに与える影響は何か？ また、理論的バウンドは実世界のスケーラビリティにどのように反映されるか？

主な発見

• 72コアシステム（144ハイパースレッド）で、データ構造の並列構築が最大68倍のスループット向上を達成し、強いスケーラビリティを示した。
• クエリパフォーマンスは並列処理で最大126倍のスループット向上を達成し、特にRecSwpなどの最良実装は、小さなクエリウィンドウにおいてBoost R-treeと比較して最大1400倍速かった。
• 順列実装では、CGAL よりも構築およびクエリ時間で最低2倍速く、ほとんどの場合でBoost R-treeと同等またはそれ以上に速かった。
• スイープラインベースのアルゴリズム（例：RecSwp, SegSwp）は、小さなウィンドウクエリおよびカウントクエリにおいて、より良い理論的バウンドのおかげで優れたパフォーマンスを示したが、2段階木は大きなウィンドウクエリにおいて、より優れたデータローカリティのおかげで優位であった。
• 各データ構造の実装にはPAMライブラリ上に約100行のC++コードで十分であり、フレームワークの簡素さと保守性を強調した。
• 理論的バウンドは、作業量において最適値のlog n要因以内に収まり、すべての構築が作業効率的（O(n log n)）であり、木ベース構造では多項式対数的並列深さ、スイープラインアルゴリズムではO(n^ε)の深さを達成した。