[論文レビュー] Parallel two-scale finite element implementation of a system with varying microstructures

Omar Richardson, Omar Lakkis+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2021

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 44被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ドメイン微分同相とプルバック作用素を用いて、異種微細構造を参照領域に写像することで、スケーラブルで高精度なマルチスケールPDEシステムのシミュレーションを効率的に行う並列2スケール有限要素法を提示する。植物組織内の栄養素輸送に応用し、収束性と強力な並列スループットが検証された。

ABSTRACT

We propose a two-scale finite element method designed for heterogeneous microstructures. Our approach exploits domain diffeomorphisms between the microscopic structures to gain computational efficiency. By using a conveniently constructed pullback operator, we are able to model the different microscopic domains as macroscopically dependent deformations of a reference domain. This allows for a relatively simple finite element framework to approximate the underlying PDE system with a parallel computational structure. We apply this technique to a model problem where we focus on transport in plant tissues. We illustrate the accuracy of the implementation with convergence benchmarks and show satisfactory parallelization speed-ups. We further highlight the effect of the heterogeneous microscopic structure on the output of the two-scale systems. Our implementation (publicly available on GitHub) builds on the deal.II FEM library. Application of this technique allows for an increased capacity of microscopic detail in multiscale modeling, while keeping running costs manageable.

研究の動機と目的

• 変動する異種微細構造を有するマルチスケールPDEシステムの計算効率の高い有限要素フレームワークの開発。
• 微細構造の幾何形状を繰り返しメッシュ生成せずに、参照領域に写像することで、複雑な微細スケール幾何形状の解像にかかる計算コストを低減。
• ドメイン分割とスレッド並列化により並列計算を可能とし、HPCリソースにおけるスケーラビリティを確保。
• カップリングされた楕円型PDEを用いた植物組織における栄養素輸送モデルを対象とし、手法の正確性と効率性を実証。
• deals.II有限要素ライブラリを基盤とし、生物学および材料科学分野におけるマルチスケールモデリングに拡張可能な、公開可能なフレームワークの提供。

提案手法

• 変動する微細スケールドメインを一様な参照領域に写像するためのプルバック作用素を採用し、個々のドメインごとのメッシュ再生成を回避。
• マクロスケールとマイクロスケールの問題を界面項による弱い結合で同時に解く2スケール有限要素式を採用。
• 微細スケールPDEは、マクロスケール座標に依存する微分同相を用いて変形された参照ドメイン上で解かれる。
• マクロスケールドメインの分割と各サブドメインにおけるマルチスレーディングを活用した並列化を実装し、HPC環境への効率的導入を可能に。
• 栄養素輸送、消費、生成をモデル化するカップリングされた楕円型PDE系に本手法を適用。
• 収束ベンチマークにより、有限要素近似の理論的収束次数が期待通りに達成されていることが確認された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 個々の微細ドメインに対して個別にメッシュを生成せず、異種微細構造を効率的にモデル化する方法は何か？
• RQ2 変動する微細構造幾何形状が輸送問題におけるマクロスケールおよびマイクロスケールの解プロファイルに与える影響は何か？
• RQ3 2スケール有限要素法が最適収束レートを達成しつつ、計算スケーラビリティを維持できるか？
• RQ4 プロセッサ数を増やした場合の、提案された並列実装のスループット効果と負荷分散の有効性はいかがなものか？
• RQ5 本フレームワークは、植物輸送を越えて、他のマルチスケール問題へどの程度一般化可能か？

主な発見

• 有限要素近似は、期待される理論的収束次数と一致しており、手法の正確性が裏付けられた。
• 並列実装は満足できるスループットを達成し、使用したノード数範囲において良好なスケーラビリティを示した。
• 数値結果から、異種微細構造の幾何形状がマクロスケールおよびマイクロスケールの解プロファイルに顕著な影響を与えることが明らかになった。
• 微分同相とプルバック作用素の活用により、各ドメインの明示的メッシュ生成なしに多様な微細構造を効率的にモデル化可能となった。
• フレームワークはGitHubで公開されており、deals.II有限要素ライブラリを基盤としているため、再現性と拡張性が保証された。
• 複雑で空間的に変化する微細構造であっても、計算効率を維持したまま、高解像度のモデリングが管理可能なコストで実現可能となった。