[論文レビュー] Parallelization of the multi-level hp-adaptive finite cell method

J. Jomo, Nils Zander+5 more|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2018

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、活性なリーフ要素レベルでの作業分散と共有メッシュデータ構造の使用により、ゴースト要素の重複計算を回避する、マルチレベル hp-adaptive 有限セル法の新規並列化戦略を提示する。この手法は、特に剛性行列統合において強力なスケーラビリティを達成しており、プロセスあたりの要素数が少ない場合でも良好な性能を発揮する。これにより、バイオメカニクスおよび積層造形における複雑な幾何形状の効率的で大規模なシミュレーションが可能になる。

ABSTRACT

The multi-level hp-refinement scheme is a powerful extension of the finite element method that allows local mesh adaptation without the trouble of constraining hanging nodes. This is achieved through hierarchical high-order overlay meshes, a hp-scheme based on spatial refinement by superposition. An efficient parallelization of this method using standard domain decomposition approaches in combination with ghost elements faces the challenge of a large basis function support resulting from the overlay structure and is in many cases not feasible. In this contribution, a parallelization strategy for the multi-level hp-scheme is presented that is adapted to the scheme's simple hierarchical structure. By distributing the computational domain among processes on the granularity of the active leaf elements and utilizing shared mesh data structures, good parallel performance is achieved, as redundant computations on ghost elements are avoided. We show the scheme's parallel scalability for problems with a few hundred elements per process. Furthermore, the scheme is used in conjunction with the finite cell method to perform numerical simulations on domains of complex shape.

研究の動機と目的

• 大きな基底関数のサポートと高いゴースト要素のオーバーヘッドにより、マルチレベル hp-adaptive 有限要素法における並列化の非効率性の課題に対処すること。
• 階層的 hp-細分化スキームにおけるゴースト要素が著しく増加する中で、標準的なドメイン分割の限界を克服すること。
• 体積適合メeshなしで、複雑な定義域上に高次元・hp-適応的シミュレーションを可能にする有限セル法とマルチレベル hp-適応性を組み合わせた、効率的でスケーラブルなシミュレーションを実現すること。
• マルチレベルスキームの階層的構造を活用することで、分散メモリ環境における負荷分散の改善とメモリオーバーヘッドの低減を図ること。
• 本提案並列化戦略が、複雑な領域と高次元要素を含む実世界の工学的問題において実現可能で、性能に優れていることを示すこと。

提案手法

• 初期要素や細分化された要素ではなく、活性なリーフ要素の粒度で計算領域を分散することで、負荷の不均衡を最小限に抑える。
• プロセス間で共有されるメッシュデータ構造を用いることで、メッシュの一貫性を維持し、ゴースト要素における重複計算を回避する。
• グローバルシステムの分散アセンブリを実装し、各プロセスが自身が所有する自由度にのみ寄与するようにすることで、通信および計算オーバーヘッドを低減する。
• 計算コストに基づいて統合領域をプロセスに割り当てる負荷分散アルゴリズム（アルゴリズム1）を適用し、作業のバランスを保証する。
• 有限セル法と統合することで、境界適合メッシュなしで、複雑で暗黙的に定義された領域上での高次元・hp-適応的シミュレーションを可能にする。
• 階層的オーバーレイメッシュを活用し、任意のハングノードを可能にするとともに、トポロジー的制約なしに直感的な細分化・粗化を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マルチレベル hp-adaptive 有限セル法の並列化戦略は、過剰なゴースト要素計算に起因するスケーラビリティの制限を回避できるか？
• RQ2 プロセスあたりの要素数が少ない場合（例：数100程度）に、提案された負荷分散スキームはどのように動作するか？
• RQ3 共有メッシュデータ構造は、分散シミュレーションにおいてメッシュの一貫性を保ち、メモリオーバーヘッドをどれほど低減できるか？
• RQ4 並列化スキームは、剛性行列統合のような計算が最も集中的なルーチンにどのような影響を与えるか？
• RQ5 本手法は、高次元要素と複雑な幾何形状を有する複雑な工学的問題の2次元および3次元シミュレーションにおいて、強力なスケーラビリティを達成できるか？

主な発見

• 提案された並列化は、剛性行列統合ルーチンにおいて強力なスケーラビリティを達成しており、各プロセスが数100個の統合領域しか処理しない場合に、完全なスケーラビリティが観察された。
• グローバルアセンブリプロセスは非局所的エントリの通信を要するが、合計計算時間に占める寄与はわずかであり、性能に顕著な悪影響を及ぼさない。
• 2次元および3次元の両方において、問題のサイズにかかわらず良好な並列効率を示し、複雑で高次元の問題に対してもスケーラビリティが維持された。
• 共有メッシュデータ構造とリーフ要素の分散を活用することで、従来のアプローチで支配的になりがちなゴースト要素の重複計算が回避され、スケーラビリティの劣化が防がれた。
• 有限セル法を用いた複雑な領域の大規模シミュレーションが、高次元要素を用いた3次元の骨インプラントシステムのシミュレーションを通じて、成功裏に実現された。
• プロセス数が増加するに従い、プロセスあたりのメモリ使用量は減少するが、メッシュサイズが支配的になるとこの傾向は落ち着くため、将来的にはさらにスケーリングを実現するための分散メッシュ構造の開発が求められる。