[論文レビュー] Paramétrisation des courbes multiples primitives

Jean–Marc Drézet|arXiv (Cornell University)|May 29, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、滑らかな曲線 $C$ 上の自己同型層の非アーベルコhomology を用いて、任意の多重度 $n$ の原始的多重曲線の完全なパラメータ表示を提供する。このような曲線は、$C$ を保存する自己同型を用いて局所的モデル $U_i \times \mathbb{Z}_n$ を貼り合わせることで得られ、同型類は $H^1(C, \mathcal{G}_n)$ により分類される。これは、バイヤーとアイゼンバーグの二重曲線に関する研究を高次多重度へと拡張し、明示的な幾何的・コホモロジー的記述を提供する。

ABSTRACT

The primitive curves are the multiple curves that can be locally embedded in smooth surfaces (we will always suppose that the associated reduced curves are smooth). These curves have been defined and studied by C. Banica and O.Forster in 1984. In 1995, D. Bayer and D. Eisenbud gave a complete description of the double curves. We give here a parametrization of primitive curves of arbitrary multiplicity. Let Z_n=spec(\C[t]/(t^n)). The curves of multiplicity n are obtained by taking an open cover (U_i) of a smooth curve C and by glueing schemes of type U_i X Z_n using automorphisms of U_{ij} X Z_n that leave U_{ij} invariant. This leads to the study of the sheaf of nonabelian groups G_n of automorphisms of C X Z_n that leave the reduced curve invariant, and to the study of its first cohomology set. We prove also that in most cases it is the same to extend a primitive curve C_n of multiplicity n to one of multiplicity n+1, and to extend the quasi locally free sheaf D_n of derivations of C_n to a rank 2 vector bundle on C_n.

研究の動機と目的

• 2次を超える原始的多重曲線の分類を一般化し、バイヤーとアイゼンバーグの二重曲線に関する研究を拡張すること。
• 任意の多重度 $n$ の原始的多重曲線の完全な幾何的・コホモロジー的パラメータ表示を提供すること。
• このような曲線の同型類と、$\mathcal{G}_n$ が $C$ を保存する $C \times \mathbb{Z}_n$ の自己同型の層であるときの第一非アーベルコホモロジー集合 $H^1(C, \mathcal{G}_n)$ の間の対応を確立すること。
• 多重度 $n$ の原始的曲線を $n+1$ に拡張することと、導分層 $\mathcal{D}_n$ を曲線上のランク2のベクトル束に拡張することの関係を明らかにすること。
• 多重度3の原始的曲線を詳細に分類し、$H^1(L)$ を用いてパラメータ表示され、自明な二重曲線の分解拡張の空間 $\mathcal{C}^S(C_2^0)$ への自然な全射が存在することを示すこと。

提案手法

• 基底曲線 $C$ を保存する自己同型を用いて、局所的モデル $U_i \times \mathbb{Z}_n$ を貼り合わせることで、多重度 $n$ の原始的多重曲線を構成し、コycle条件を満たすようにする。
• $C$ を保存する $C \times \mathbb{Z}_n$ の非アーベル群自己同型の層 $\mathcal{G}_n$ を定義し、その第一コホモロジー集合 $H^1(C, \mathcal{G}_n)$ を用いて原始的曲線の同型類を分類する。
• $\mathcal{C}^S(C_2^0)$ を自明な二重曲線の分解拡張の集合とするとき、自然な全射 $l_g: H^1(L) \to \mathcal{C}^S(C_2^0)$ を確立する。
• $C = C_1 \subset \cdots \subset C_n = Y$ のフィルトレーションを用いて、滑らかな曲面内の局所的イデアル $(z^i)$ を用いて曲線を定義し、正規化バンドル $L = \mathcal{I}_C / \mathcal{I}_C^2$ を関連するラインバンドルと結びつける。
• $L^*$ の全空間における $C$ の $n$ 重の無限小近傍として、多重度 $n$ の自明な原始的曲線を構成し、これを非自明な変形の基盤とする。
• ある条件下で、原始的曲線 $C_n$ を $C_{n+1}$ に拡張することは、導分層 $\mathcal{D}_n$ を $C_n$ 上のランク2ベクトル束に拡張することと同値であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の多重度 $n$ の原始的多重曲線を、局所的貼り合わせデータと自己同型群を用いてどのようにグローバルにパラメータ表示できるか？
• RQ2 第一非アーベルコホモロジー集合 $H^1(C, \mathcal{G}_n)$ は、多重度 $n$ の原始的多重曲線の同型類を分類する上で果たす役割は何か？
• RQ3 多重度 $n$ の原始的曲線を $n+1$ に拡張する問題は、その導分層 $\mathcal{D}_n$ をランク2ベクトル束に拡張することと同値であるか？
• RQ4 多重度3の原始的曲線はどのように分類され、全射 $l_g: H^1(L) \to \mathcal{C}^S(C_2^0)$ の幾何的意味は何か？
• RQ5 自己同型層 $\mathcal{G}_n$ の構造は何か？ そして、これは原始的多重曲線のモジュライをどのように制御するか？

主な発見

• 基底曲線が $C$ である多重度 $n$ の原始的多重曲線の同型類は、$C$ を保存する $C \times \mathbb{Z}_n$ の自己同型の層 $\mathcal{G}_n$ に対する第一非アーベルコホモロジー集合 $H^1(C, \mathcal{G}_n)$ と自然な双対性を持つ。
• 多重度3の原始的曲線の分類は完全に記述されている：$H^1(L)$ を用いてパラメータ表示され、$\mathcal{C}^S(C_2^0)$ を自明な二重曲線の分解拡張の集合とするとき、自然な全射 $l_g: H^1(L) \to \mathcal{C}^S(C_2^0)$ が存在する。
• $l_g$ の纤维は $H^1(L)$ 上の $\mathbb{C}^*$-作用の軌道であるため、パラメータ表示がスカラー倍の意味で定義されていることが示される。
• 大多数の場合は、多重度 $n$ の原始的曲線 $C_n$ を $C_{n+1}$ に拡張することは、導分層 $\mathcal{D}_n$ を $C_n$ 上のランク2ベクトル束に拡張することと同値であり、変形理論とベクトル束の拡張の間に深い関係が存在することが示される。
• 多重度 $n$ の自明な原始的曲線は、$L^*$ の全空間における $C$ の $n$ 重の無限小近傍として実現され、分類のための標準的モデルを提供する。
• 任意の原始的多重曲線は $\mathbb{P}^3$ に埋め込めることが確認され、それらの抽象的な幾何的実現可能性が裏付けられる。