[論文レビュー] Parameter-Dependent S-Procedure And Yakubovich Lemma

Sergei V. Gusev|ArXiv.org|Dec 27, 2006

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 4被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、パラメータがコンパクト空間を渡って変化する場合に、パrameter依存線形行列不等式（LMIs）が連続解をもつための条件を確立する。この研究では、ヤクボビッチの補題とSプロシージャをパラメータ依存設定に一般化し、パラメトリック不確実性を有する非線形系のロバスト安定性解析のためのパラメータ依存リャプノフ関数の構築を可能にする。主な貢献は、多項式的パラメータ依存LMIsを高次元のパラメータ非依存LMIsに還元する手法であり、非和の平方多項式（non-sum-of-squares polynomials）の正定性の有効な検証とロバスト制御設計を可能にする。

ABSTRACT

The paper considers a linear matrix inequality (LMI) that depends on a parameter varying in a compact topological space. It turns out that if a strict LMI continuously depends on a parameter and is feasible for any value of that parameter, then it has a solution which continuously depends on the parameter. The result holds true for LMIs that arise in S-procedure and Yakubovich lemma. It is shown that the LMI which is polynomially dependent on a vector of parameters can be reduced to a parameter-independent LMI of a higher dimension. The result is based on the recent generalization of Yakubovich lemma proposed by Iwasaki and Hara and another generalization formulated in this paper. The problem of positivity verification for a non-SOS polynomial of two variables is considered as an example. To illustrate control applications, a method of parameter-dependent Lyapunov function construction is proposed for nonlinear systems with parametric uncertainty.

研究の動機と目的

• パラメータがコンパクト位相空間を渡って変化する際、パラメータ依存線形行列不等式（LMIs）に連続解が存在することを確立すること。
• Sプロシージャおよびヤクボビッチの補題をパラメータ依存設定に拡張し、厳密不等式に対してロスレスな緩和を保証すること。
• 多項式的パラメータ依存LMIsを高次元のパラメータ非依存LMIsに変換する手法を開発すること。
• パラメトリック不確実性を有する非線形系のロバスト安定性解析のため、パラメータ依存リャプノフ関数を構築すること。
• 有限次元のLMIsの可解性に還元することで、非和の平方多項式の正定性を検証すること。

提案手法

• パラメータに連続的に依存する厳密なLMIsが、すべてのパラメータ値に対して実行可能であれば、連続解が存在することを証明する。
• 一般化されたヤクボビッチの補題とSプロシージャを、パラメータ依存周波数領域不等式に適用し、連続的なラグランジュ乗数の存在を保証する。
• 係数のベクトル化とアフィン写像を用いて、多項式的パラメータ依存LMIsを高次元のパラメータ非依存LMIsに還元する。
• MATLABのLMIツールボックスを用いて、還元されたLMIs系を解くことで、非SOS多項式の正定性を数値的に検証する。
• パラメータ依存LMIs系を解くことにより、パラメトリック不確実性を有する非線形系のためのパラメータ依存リャプノフ関数を構築する。
• 2次制約をLMIsの可解性問題に変換するための緩和技術を、Sプロシージャに基づいて用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パラメータがコンパクトなパラメータ集合に連続的に依存するパラメータ依存LMIsが、連続解をもつための条件は何か？
• RQ2 Sプロシージャおよびヤクボビッチの補題は、パラメータ依存不等式に一般化可能であり、かつロスレス性を保つことができるか？
• RQ3 多項式的パラメータ依存LMIsを、高次元の等価なパラメータ非依存LMIsに変換する方法は何か？
• RQ4 このフレームワークは、和の平方で表現できない多項式の正定性を検証できるか？
• RQ5 パラメトリック不確実性を有する非線形系のロバスト安定性解析のため、パラメータ依存リャプノフ関数を構築できるか？

主な発見

• 任意の厳密に実行可能で、コンパクトなパラメータ集合上で連続的に依存するLMIsに対して、連続解が存在し、制御応用におけるロバスト性を保証する。
• パラメータ依存Sプロシージャおよびヤクボビッチの補題は、パラメータ依存性が連続的でかつ不等式が厳密な場合、ロスレスである。
• 多項式的パラメータ依存LMIsは、係数のベクトル化とアフィン写像を用いて、1つの高次元パラメータ非依存LMIsに還元可能である。
• この手法により、非SOS多項式 $ x^4y^2 + x^2y^4 - 3x^2y^2 + 1 + 10^{-11} $ がすべての実数 $ x, y $ に対して正であることが正しく検証された。
• 本手法により、多項式的に変化するシステム行列とパラメトリック不確実性を有する非線形系のためのパラメータ依存リャプノフ関数の構築が可能である。
• LMIツールボックスを用いた数値実験により、還元されたLMIs系の可解性が高精度で確認された。