[論文レビュー] Parameter estimation based on discrete observations of fractional Ornstein-Uhlenbeck process of the second kind

Ehsan Azmoodeh, Lauri Viitasaari|arXiv (Cornell University)|Apr 9, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、離散時間観測に基づき、2番目の種類の分数ブラウン運動型オーナンシュタイン＝オーレンプ過程（fOU₂）におけるドリフトパラメータθの一貫推定量を提案する。マリヤン・微積分とエルゴディシティを用いて、Hが既知の場合と未知の場合の両方に対して、H ∈ (1/2, 1) のすべてのHに対して有効な中心極限定理を確立する。観測区間とメッシュサイズの適切な採択条件のもとで成立する。

ABSTRACT

Fractional Ornstein-Uhlenbeck process of the second kind $( ext{fOU}_{2})$ is solution of the Langevin equation $\mathrm{d}X_t = -θX_t\,\mathrm{d}t+\mathrm{d}Y_t^{(1)}, \ θ>0$ with Gaussian driving noise $ Y_t^{(1)} := \int^t_0 e^{-s} \,\mathrm{d}B_{a_s}$, where $ a_t= H e^{\frac{t}{H}}$ and $B$ is a fractional Brownian motion with Hurst parameter $H \in (0,1)$. In this article, we consider the case $H>\frac{1}{2}$. Then using the ergodicity of $ ext{fOU}_{2}$ process, we construct consistent estimators of drift parameter $θ$ based on discrete observations in two possible cases: $(i)$ the Hurst parameter $H$ is known and $(ii)$ the Hurst parameter $H$ is unknown. Moreover, using Malliavin calculus technique, we prove central limit theorems for our estimators which is valid for the whole range $H \in (\frac{1}{2},1)$.

研究の動機と目的

• 離散時間観測に基づくfOU₂過程におけるドリフトパラメータθの一致推定量の構築を目的とする。
• ハーストパラメータHが既知であるものとして、推定量の中心極限定理（CLT）を確立すること。
• Hが未知である場合にまでCLTの枠組みを拡張すること、制限された採択条件のもとで。
• fOU₂過程のエルゴディシティとマリヤン微積分の技術を活用し、漸近正規性の結果を導出すること。
• H > 1/2 であっても短記憶を示すfOU₂過程のための厳密な統計的推論フレームワークを提供すること。

提案手法

• fOU₂過程のエルゴディシティを活用し、成長する観測区間T_N = NΔ_Nにおける離散サンプリングに基づく推定量を構築する。
• マリヤン微積分の技術を用いて推定量の漸近的分布を分析し、特にウィエンャークラウス展開と多重ウィエンャー積分に注目する。
• 変数変換とベータ関数の恒等式を用いて、スコア関数の2次のモーメントの極限を計算することで、推定量の漸近的分散を導出する。
• メッシュ条件を課す：Hが既知の場合はT_N → ∞ かつ NΔ_N² → 0；Hが未知の場合はΔ_N = N^{-α}（α ∈ (1/2, 1/(4H−2) ∧ 1)）を満たす。
• 推定量の共分散構造を、指数関数的およびべき乗則的項を含む三重積分に還元し、変数変換とベータ関数の評価を用いて、それが有限極限に収束することを示す。
• ロピタルの定理と漸近的解析を用いて、分散式の導関数の極限を計算し、非退化極限への収束を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Hが既知であるとき、fOU₂過程の離散観測からドリフトパラメータθの一致推定量を構築できるか？
• RQ2 Hが既知であるとき、ドリフト推定量の漸近正規性を保証するための採択条件は何か？
• RQ3 Hが未知である場合に、一貫的かつ漸近正規的推定量θを構築できるか？
• RQ4 Hが未知の状況においてCLTが成立するための、観測メッシュに関する必要十分条件は何か？
• RQ5 マリヤン微積分の使用が、非半マルティンゲール型ノイズを有するfOU₂過程におけるCLTの導出をどのように可能にするか？

主な発見

• Hが既知の場合、T_N → ∞ かつ NΔ_N² → 0 の条件下で、θの強一貫推定量が構築可能である。
• 推定量の漸近分布は、べき乗則的および指数関数的項を含む三重積分で明示的に特徴づけられる非退化分散を持つ正規分布に収束する。
• Hが未知の場合、Δ_N = N^{-α}（α ∈ (1/2, 1/(4H−2) ∧ 1)）というメッシュ条件のもとで、一貫推定量が構築可能であり、漸近正規性が保証される。
• 中心極限定理は、H ∈ (1/2, 1) の全範囲で成立し、これは従来のH ∈ [1/2, 3/4) に制限されていた結果に対して顕著な改善である。
• 変数変換とベータ関数の恒等式による評価を用いて、関連する三重積分を有界化することで、漸近的分散が有限であることが示され、極限の存在が確認された。
• 共分散関数の2次項が漸近的に消えることが示され、極限解析における簡略化されたカーネル1/(2θ)e^{-θ|x−y|} の使用が正当化された。