[論文レビュー] Parameter estimation for fractional Ornstein-Uhlenbeck processes of general Hurst parameter

Yaozhong Hu, David Nualart+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2017

Stochastic processes and financial applications被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、一般のハースト指数 $H \in (0,1)$ を持つ分数ブラウン運動によって駆動される分数オーナイシュタイン＝アーレンブルク過程のドリフトおよびボラティリティパラメータの統計的推定量を開発する。ボラティリティの推定には高次モーメント変動を導入し、ドリフトパラメータの最小二乗推定量について、すべての $H$ の範囲で確率的収束および中心極限定理または非中心極限定理を確立し、先行研究における未解決問題を完全に解消する。

ABSTRACT

This paper provides several statistical estimators for the drift and volatility parameters of an Ornstein-Uhlenbeck process driven by fractional Brownian motion, whose observations can be made either continuously or at discrete time instants. First and higher order power variations are used to estimate the volatility parameter. The almost sure convergence of the estimators and the corresponding central limit theorems are obtained for all the Hurst parameter range $H\in (0, 1)$. The least squares estimator is used for the drift parameter. A central limit theorem is proved when the Hurst parameter $H \in (0, 1/2)$ and a noncentral limit theorem is proved for $H\in[3/4, 1)$. Thus, the open problem left in the paper by Hu and Nualart (2010) is completely solved, where a central limit theorem for least squares estimator is proved for $H\in [1/2, 3/4)$.

研究の動機と目的

• 分数ブラウン運動によって駆動される分数オーナイシュタイン＝アーレンブルク過程のドリフトおよびボラティリティパラメータの一貫性および漸近正規性を持つ推定量の開発。
• 統合ボラティリティの高次モーメント変動に基づく推定における、従来の制限 $H \leq 3/4$ の除去。
• ドリフトパラメータ $\theta$ の最小二乗推定量について、すべての $H \in (0,1)$ の範囲で中心極限定理および非中心極限定理を確立し、先行研究における未解決問題を解消すること。
• 連続観測および離散観測の両方のスケームにおいて、パrameter推定の統一的統計枠組みの提供。

提案手法

• 統合ボラティリティ $\int_0^T |\sigma_s|^p ds$ の推定に、高次モーメント変動 $V^{n}_{k,p}(X)_T = \sum_{i=1}^{[nT]-k+1} \left| \sum_{j=0}^k (-1)^{k-j} \binom{k}{j} X_{(i+j-1)/n} \right|^p$ を用いる。
• 複数のウィener＝イトホルン積分のモーメント定理および中心極限定理を適用し、ボラティリティ推定量の漸近正規性を導出する。
• 最小二乗推定量 $\hat{\theta}_T = - \frac{\int_0^T X_t dX_t}{\int_0^T X_t^2 dt}$ を用いる。ここで確率積分はスコロホド解釈で解釈される。
• コンパクト時間区間上で一様に確率的収束が成り立つことを示すことで、ボラティリティ推定量のほとんど確実収束を確立する。
• 定常解の解析およびエルゴード定理の適用のため、$X_t = \sigma \int_0^t e^{-\theta(t-s)} dB_s^H + e^{-\theta t} \xi$ および $\xi = \sigma \int_{-\infty}^0 e^{\theta s} dB_s^H$ の表現を用いる。
• Pickandsの定理を用いて $Y_t$ の共分散構造を解析し、すべての $H \in (0,1)$ に対して $Y_T / T^\alpha \to 0$ がほとんど確実に成り立つことを証明し、エルゴード性の根拠とする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次モーメント変動は、$H \leq 3/4$ の制限を超えて、すべての $H \in (0,1)$ に対して分数オーナイシュタイン＝アーレンブルク過程の統合ボラティリティを一貫して推定できるか？
• RQ2 $H \in (0,1/2)$ のとき、ドリフトパラメータ $\theta$ の最小二乗推定量の漸近分布は何か？
• RQ3 $H \in [3/4,1)$ のとき、最小二乗推定量の漸近的挙動はどのように変化するか？非中心極限定理を確立できるか？
• RQ4 ボラティリティ推定量のほとんど確実収束は、時間的に一様かつコンパクト区間上で確率的に成り立つか？

主な発見

• 高次モーメント変動推定量 $|\hat{\sigma}_T|^p = \frac{n^{-1+pH} V^{n}_{k,p}(X)_T}{c_{k,p} T}$ は、$n \to \infty$ のとき、コンパクト時間区間上で確率的に一様に $|\sigma|^p$ にほとんど確実に収束する。
• すべての $H \in (0,1)$ に対してボラティリティ推定量の中心極限定理が確立され、漸近分散は $c_{k,p}$ およびローゼンブラット分布の四次モーメントに依存する。
• 最小二乗推定量 $\hat{\theta}_T$ に対して、$H \in (0,1/2)$ のとき中心極限定理が成り立ち、$\sqrt{T}(\hat{\theta}_T - \theta) \xrightarrow{d} N(0, \sigma^2 \theta^{-1} / (2H-1)(4H-3))$ が成り立つ。
• $H \in [3/4,1)$ のとき、$\sqrt{T}(\hat{\theta}_T - \theta)$ の極限分布は非ガウス分布であり、ローゼンブラット確率変数に収束し、$H$ および $\theta$ を含む明示的な分散表現が得られる。
• エルゴード定理により、すべての $H \in (0,1)$ に対して $\frac{1}{T} \int_0^T X_t^2 dt \to \sigma^2 \theta^{-2H} H \Gamma(2H)$ がほとんど確実かつ $L^2$ で $T \to \infty$ のとき成り立つ。
• すべての $H \in (0,1)$ に対して $Y_T / T^\alpha \to 0$ がほとんど確実に成り立つことが証明され、$Y_t$ のエルゴード性および定常性の根拠となる。