[論文レビュー] Parameter Estimation of Complex Fractional Ornstein-Uhlenbeck Processes with Fractional Noise

Yong Chen, Yaozhong Hu+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 26, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 7被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、Hurstパラメータ $ H \in (1/2, 3/4) $ を持つ分数 Browm運動によって駆動される複素数係数の分数オーランスホン・ウーレンプ過程におけるドリフト係数の最小二乗推定量の強い一致性および漸近正規性を確立する。アプローチは、経路の正則性を制御する Garsia-Rodemich-Rumsey 不等式と、極限分布を導出するための新規な複素数値の四次モーメント定理を活用しており、従来のブラウン運動の場合の結果を複素数的・分数的設定へと拡張する。

ABSTRACT

We obtain strong consistency and asymptotic normality of a least squares estimator of the drift coefficient for complex-valued Ornstein-Uhlenbeck processes disturbed by fractional noise, extending the result of Y. Hu and D. Nualart, [Statist. Probab. Lett., 80 (2010), 1030-1038] to a special 2-dimensions. The strategy is to exploit the Garsia-Rodemich-Rumsey inequality and complex fourth moment theorems. The main ingredients of this paper are the sample path regularity of a multiple Wiener-Ito integral and two equivalent conditions of complex fourth moment theorems in terms of the contractions of integral kernels and complex Malliavin derivatives.

研究の動機と目的

• 分数オーランスホン・ウーレンプ過程のパrameter推定理論を、分数ノイズを伴う複素数値の場合へと拡張すること。
• 観測時間 $ T \to \infty $ のとき、ドリフト係数 $ \gamma $ の最小二乗推定量のほとんど確実収束（強い一貫性）を確立すること。
• 推定量 $ \sqrt{T}(\hat{\gamma}_T - \gamma) $ の漸近分布を導出し、$ H \neq 1/2 $ のとき非 i.i.d. のガウス分布に収束することを示すこと。
• 実数値過程とは異なり、簡単な閉形式が存在しない複素数イト積分 $ \int_0^T \bar{Z}_t dZ_t $ に起因する技術的困難を克服すること。
• 収束のガウス性を特徴付けるために、収縮と Malliavin 微分を含む複素数版の四次モーメント定理を構築・適用すること。

提案手法

• 複素数スデの残差の積分平方を最小化することにより得られる最小二乗推定量 $ \hat{\gamma}_T = \gamma - \sqrt{a} \frac{\int_0^T \bar{Z}_t d\zeta_t}{\int_0^T |Z_t|^2 dt} $ を用いる。
• 多重ウィENER＝イト積分の標本路正則性を制御するため、Garsia-Rodemich-Rumsey 不等式を適用し、イト公式の簡略化ができないにもかかわらず強い一貫性の証明を可能にする。
• 積分核の収縮と複素数 Malliavin 微分を用いた複素数値四次モーメント定理を構築し、ガウス性への収束を特徴付ける。
• 共分散構造 $ \phi(s,t) = \alpha_H |s-t|^{2H-2} $（$ \alpha_H = H(2H-1) $）に関する $ L^2 $ 関数のヒルベルト空間 $ \mathfrak{H} $ を用いる。
• 推定量の揺らぎを $ F_T = \frac{1}{\sqrt{T}} \int_{[0,T]^2} e^{-\gamma(-r+s)} \mathbf{1}_{\{r \leq s\}} d\zeta_r d\bar{\zeta}_s $ として表現し、ウィナー＝イト積分と解釈する。
• $ F_T $ と正規化項の収束を証明した後、スラツキーの定理および連続写像定理を適用して漸近正規性を結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素数係数の分数オーランスホン・ウーレンプ過程におけるドリフト係数 $ \gamma $ の最小二乗推定量 $ \hat{\gamma}_T $ は、$ T \to \infty $ のとき真のパrameterにほとんど確実に収束するか？
• RQ2 $ \sqrt{T}(\hat{\gamma}_T - \gamma) $ の極限分布は何か？ また、$ H \neq 1/2 $ のとき、古典的 i.i.d. ガウス分布とはどのように異なるか？
• RQ3 四次モーメント定理は、複素数値設定へと拡張可能であり、推定量の漸近正規性を確立できるか？
• RQ4 $ \int_0^T \bar{Z}_t dZ_t $ の閉形式が存在しないことによる困難を、強い一貫性の証明においてどのように克服できるか？
• RQ5 $ \gamma $, $ \lambda $, $ a $, $ H $ の関数として、漸近分散・共分散行列 $ \mathsf{C} $ の明示的表現は何か？

主な発見

• 最小二乗推定量 $ \hat{\gamma}_T $ は強い一貫性を有する：$ T \to \infty $ のとき $ \hat{\gamma}_T \to \gamma $ ほとんど確実に収束する。
• 正規化された推定量 $ \sqrt{T}(\hat{\gamma}_T - \gamma) $ は、分布収束として $ \mathcal{N}(0, \frac{1}{2d^2 a} \mathsf{C}) $ に収束する。ここで $ \mathsf{C} $ は $ \gamma $, $ \lambda $, $ H $ を含む積分を用いて定義される $ 2 \times 2 $ 行列である。
• 漸近分散・共分散行列 $ \mathsf{C} $ は、$ \sigma^2 + c $ および $ b $ として明示的に与えられ、$ \sigma^2 $ および $ c+ib $ は $ (xy)^{1-2H} $ とリゾルベント型カーネルを含む $ [0,\infty)^2 $ 上の重積分として定義される。
• 正規化定数 $ d $ は $ d = \frac{\Gamma(2H-1)}{2\lambda} \left( \frac{1}{\gamma^{2H-1}} + \frac{1}{\bar{\gamma}^{2H-1}} \right) $ として与えられ、漸近分散に現れる。
• 特殊ケース $ H = 1/2 $ のとき、極限分布は $ \mathcal{N}(0, \frac{\lambda}{4a} \mathrm{Id}_2) $ に簡略化され、古典的ブラウン運動の場合と整合的であることが確認される。
• $ H \in (1/2, 3/4) $ のとき、極限分布は非 i.i.d. のガウス分布であるため、推定誤差構造に長距離依存性の効果が現れていることが示唆される。