[論文レビュー] Parameter regularity of dynamical determinants of expanding maps of the circle and an application to linear response

Malo Jézéquel|arXiv (Cornell University)|Aug 3, 2017

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、微分的正則性仮定の下で、円周上の拡張写像に対する力学的デターミナントのC^1およびC^2正則性を確立し、PollicottとVytnovaの解析的線形応答公式をC^k微分可能設定へ拡張することを可能にする。主な手法は、Paley-Littlewood射影を用いて移行作用素を核的部と有界な剰余に分解することであり、これにより作用素ノルム推定とトレースクラスの議論を通じてスペクトル性質と導出正則性を制御できる。最終的に、C^2およびC^3曲線仮定の下で、線形応答公式（2）および（3）の有効性が証明される。

ABSTRACT

In order to adapt to the differentiable setting a formula for linear response proved by Pollicott and Vytnova in the analytic setting, we show a result of regularity of dynamical determinants of expanding maps of the circle. The main tool is the decomposition of a transfer operator as a sum of a nuclear part and a "small" bounded part.

研究の動機と目的

• 円周上の拡張写像に対して、PollicottとVytnovaの解析的線形応答公式を微分可能な設定へ拡張すること。
• 力学的デターミナントがC^1またはC^2であるための十分な正則性条件を、写像族と観測関数のパラメータ依存性に設定すること。
• 関数解析的枠組みを厳密に構築し、移行作用素の分解とソボレフ空間技術を用いて、非解析的状況下での線形応答公式の正当化を図ること。
• C^k仮定の下で力学的デターミナントの正則性を証明することにより、解析的および微分可能な設定の間のギャップを埋めること。

提案手法

• 移行作用素のPaley-Littlewood分解を用いて、核的部と有界な剰余に分離し、スペクトル制御を可能にする。
• ソボレフ空間H^sにおける作用素ノルム推定を適用し、非核的部の有界性を制御し、パラメータに関するC^k依存性を証明する。
• 核的作用素のための「フラットトレース」構成を用いて力学的デターミナントを定義し、その正則性を分析する。
• Gou€zel-Keller-Liverani法を活用し、移行作用素の主要固有値および固有関数のC^k正則性を証明する。
• コーシー積分公式とリゾルベント推定を用いて、複素平面上での力学的デターミナントの導関数を制御する。
• 陰関数定理および積分の微分を用いて、デターミナントの正則性から線形応答公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 写像族τ ↦ Tτおよび観測関数gに対して、どのような微分的正則性仮定を課すと、力学的デターミナントd(z, u, τ)がパラメータτおよび共役変数uに関してC^1またはC^2となるか？
• RQ2 関数解析的道具（作用素分解とトレース理論）を用いて、PollicottとVytnovaが導出した解析的線形応答公式をC^k微分可能な設定へ拡張可能か？
• RQ3 移行作用素を核的部と有界部に分解することで、ソボレフ空間における力学的デターミナントの正則性証明がどのように促進されるか？
• RQ4 移行作用素のスペクトルデータ（固有値および固有関数）の正則性と、パラメータ変化に伴う不変測度の微分可能性の間の正確な関係は何か？
• RQ5 写像族がC^3で、観測関数がC^7である場合、線形応答公式は周期軌道とそれらのτに関する微分を用いて明示的に計算可能か？

主な発見

• 写像族τ ↦ TτがC^2で、gがC^6であると仮定すると、力学的デターミナントd(z, u, τ)は(u, τ)に関してC^1となる。これにより、線形応答公式（2）の有効性が保証される。
• 写像族τ ↦ TτがC^3で、gがC^7であると仮定すると、力学的デターミナントd(z, u, τ)は(u, τ)に関してC^2となる。これにより、微分可能な設定下での完全な線形応答公式（3）が正当化される。
• 十分に小さいτおよびuに対して、力学的デターミナントは半径R > 1の円板へ正則に拡張可能であり、級数展開の収束性と解析性が保証される。
• 移行作用素のスペクトルデータ（固有値および固有関数）の正則性は、写像族のC^k依存性および核的部と有界部への分解から帰属される。
• 線形応答公式（3）は、T₀の周期点およびそれらのτに関する微分を用いて明示的に計算可能であり、式（35）に示されている。
• 本手法により、力学的デターミナントの導関数が指数的減衰推定を満たすことが証明され、応答公式に用いられるべきべき級数の収束が高速であることが保証される。