[論文レビュー] Parameter Transfer for Quantum Approximate Optimization of Weighted MaxCut

Ruslan Shaydulin, Phillip C. Lotshaw+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、重み付きMaxCut問題における量子近似最適化アルゴリズム（QAOA）のパラメータ転送手法として、単純なスケーリングに基づく手法を提案する。重みなしインスタンスから得られる高品質なパラメータを効果的に再利用可能となる。この手法により、直接最適化と比較して中央値の近似比ギャップはわずか2.0百分率ポイント（p.p.）に抑えられ、事前学習されたメタ分布を用いて10回の追加回路評価を加えることで、ギャップは1.2 p.p.まで削減可能である。また、転送されたパラメータから単一のBFGS走査を実行するだけで、96.35%のケースでほぼ最適な性能を回復する。

ABSTRACT

Finding high-quality parameters is a central obstacle to using the quantum approximate optimization algorithm (QAOA). Previous work partially addresses this issue for QAOA on unweighted MaxCut problems by leveraging similarities in the objective landscape among different problem instances. However, we show that the more general weighted MaxCut problem has significantly modified objective landscapes, with a proliferation of poor local optima. Our main contribution is a simple rescaling scheme that overcomes these deleterious effects of weights. We show that for a given QAOA depth, a single "typical" vector of QAOA parameters can be successfully transferred to weighted MaxCut instances. This transfer leads to a median decrease in the approximation ratio of only 2.0 percentage points relative to a considerably more expensive direct optimization on a dataset of 34,701 instances with up to 20 nodes and multiple weight distributions. This decrease can be reduced to 1.2 percentage points at the cost of only 10 additional QAOA circuit evaluations with parameters sampled from a pretrained metadistribution, or the transferred parameters can be used as a starting point for a single local optimization run to obtain approximation ratios equivalent to those achieved by exhaustive optimization in $96.35\%$ of our cases.

研究の動機と目的

• 重み付きMaxCut問題におけるQAOAパラメータ最適化の高い計算コストを軽減すること。
• 従来、重みなしMaxCutで観察されたパラメータ集中現象が、より一般的な重み付きMaxCutの場合に拡張可能かどうかを調査すること。
• 多様な重み付きグラフインスタンスにわたって高い近似比を維持する、実用的で低コストのパラメータ転送スキームを開発すること。
• 病理的とされる重み分布下でのパラメータ転送のロバストネスを評価し、失敗モードを同定すること。
• 転送されたパラメータが局所最適化の有効な初期点として機能するかどうかを実証し、完全なパラメータ探索の必要性を著しく低減できることを示すこと。

提案手法

• 重みなしと重み付きインスタンス間の平均エッジ重み比に基づき、重みなしMaxCutインスタンスからの中央値パラメータを重み付きMaxCut問題に適用可能な形にスケーリングするスキームを提案する。
• 261,080個の重みなし9ノードMaxCutインスタンスの事前最適化パラメータの中央値を、新しい重み付きインスタンスへの転送に用いる「典型的」パラメータベクトルとして用いる。
• 高パフォーマンスQAOAパラメータのメタ分布を学習するためにカーネル密度推定（KDE）を用い、10個の追加パラメータセットをサンプリング可能にする。
• 各インスタンスについて、中央値パラメータとKDEでサンプリングされた10個のパラメータのうち、最高の近似比を評価し、1インスタンスあたり合計11回のQAOA回路評価で完了する。
• 転送されたパラメータを初期点としてBFGS最適化アルゴリズムを実行し、直接最適化された結果に収束するかを評価する。
• 34,701個の異なるサイズと重み分布を有する重み付きMaxCutインスタンスを対象に、転送されたパラメータと直接最適化されたパラメータ間の近似比ギャップを測定することで、パフォーマンスを定量化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単純なスケーリング技術を用いて、重みなしMaxCutからのパラメータ転送を重み付きMaxCutに成功裏に拡張可能か？
• RQ2 多様な重み付きMaxCutインスタンスにおいて、転送されたパラメータの性能は直接最適化されたパラメータと比較してどの程度か？
• RQ3 事前学習済みメタ分布からのパラメータサンプリングを用いて、追加の最小限の回路評価で性能ギャップをさらに縮小可能か？
• RQ4 転送されたパラメータセットは、局所最適化の有効な初期化として機能するか？ これにより、ほぼ最適な結果が回復可能か？
• RQ5 パラメータ転送の失敗モードは何か？ また、病理的とされる重み分布は性能にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 20ノードまでで複数の重み分布を有する34,701個の重み付きMaxCutインスタンスにおいて、転送されたパラメータと直接最適化されたパラメータの中央値近似比ギャップはわずか2.0百分率ポイント（p.p.）である。
• KDEに基づくメタ分布からサンプリングした10個の追加パラメータを用いたQAOA回路評価を追加することで、中央値ギャップは1.2 p.p.まで削減される。
• 転送されたパラメータを初期点として単一のBFGS最適化ステップを実行することで、96.35%のケースで直接最適化と同等の近似比が回復される。
• QAOA深さが増す（p=3の場合1.8 p.p.）と、および重み分布が困難になる（指数分布では2.7 p.p.）と、ギャップは増加するが、依然として管理可能である。
• 病理的とされるコーシー分布に従う重みに対しても、転送されたパラメータはBFGSの初期点として有効であり、極端な分布に対してもロバストであることが示された。
• これらの結果は、適切なスケーリングを施すことで、QAOAにおけるパラメータ集中現象が重み付きMaxCutにまで拡張可能であることを示唆し、近い将来の量子優位性への広範な応用可能性を支持する。