[論文レビュー] Parameterization of two-dimensional turbulence using an anisotropic maximum entropy production principle

Freddy Bouchet|arXiv (Cornell University)|May 9, 2003

Fluid Dynamics and Turbulent Flows被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、乱流の渦度勾配に作用するひずみテンソルに基づく乱流電流に最大エントロピー生成原理を適用することにより、2次元および地球物理流体の未解決小スケール乱流に対して安定で異方的（anisotropic）なパラメータ化を提案する。この手法は、小スケール効果をひずみテンソルの主方向に沿った選択的拡散としてモデル化し、エネルギー保存則を満たす。数値実験では、ナビエ＝ストークス方程式、スマゴリンスキー法、ハイパーレイノルズ数法に比べ、予測可能性が著しく向上する。

ABSTRACT

We consider the modeling of the effect of unresolved scales, for two-dimensional and geophysical flows. We first show that the effect of small scales on a coarse-grained field, can be approximated at leading order, by the effect of the strain tensor on the gradient of the vorticity, which exactly conserves the energy. We show that this approximation would lead to unstable numerical code. In order to propose a stable parameterization, while taking into account of these dynamical properties, we apply a maximum entropy production principle. The parameterization acts as a selective diffusion proportional to the mean strain, in the contraction direction, while conserving the energy. We show on numerical computation that the obtained \foreignlanguage{french}{anisotropic relaxation equations} give an important predictability improvement, with respect to Navier-Stokes, Smagorinsky or hyperviscous parameterizations.

研究の動機と目的

• 2次元および地球物理的乱流の大型済みシミュレーションにおける閉じ込め問題（closure problem）に対処すること。ここで、小スケール効果は解像されない。
• エネルギー保存則と異方的ひずみの動的制約を尊重する数値的に安定なパラメータ化を開発すること。
• 特に渦の合体やフィラメント化を伴う減衰乱流の粗粒度シミュレーションにおいて、長期的な予測可能性を向上させること。
• 乱流電流の不安定な決定論的近似を、物理的根拠に基づきエントロピーを最大化する形式に置き換えること。

提案手法

• 乱流電流は、渦度勾配に作用するひずみテンソルの一次近似として表され、これは正確にエネルギー保存則を満たす。
• この決定論的近似は数値的に不安定であることが示され、直接シミュレーションに使用するには不適切である。
• 安定なパラメータ化は、決定論的電流（安定なひずみ方向における）とエネルギー保存則を制約条件として、エントロピー生成量を最大化することにより導出される。
• 得られた異方的緩和方程式は、平均ひずみに比例する選択的拡散として作用し、主ひずみ方向に沿って整列する。
• この手法は、安定性と物理的一致性を保証するための変分原理を介して実装される。
• 数値的妥当性は、高解像度（1024²）の直接数値シミュレーション（DNS）を基準として、低解像度シミュレーションとさまざまなパラメータ化法を比較することで検証された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元および地球物理的流れにおける未解決小スケール乱流効果を、エネルギー保存則を保ちながら安定にパラメータ化する方法は何か？
• RQ2 標準的な決定論的近似による乱流電流がなぜシミュレーションで数値的不安定性を引き起こすのか？
• RQ3 最大エントロピー生成原理を用いて、安定で異方的な小スケールモデルを構築できるか？また、古典的パラメータ化法を上回る性能を示せるか？
• RQ4 提案された異方的緩和モデルは、ナビエ＝ストークス方程式、スマゴリンスキー法、またはハイパーレイノルズ数法と比較して、減衰2次元乱流における長期的予測可能性をどの程度向上させるか？
• RQ5 局所的ひずみと渦度勾配が、乱流電流およびその発散の構造を決定づける役割を果たすか？

主な発見

• 渦度勾配に作用するひずみテンソルに基づく乱流電流の決定論的近似は、正確にエネルギー保存則を満たすが、シミュレーションでは数値的不安定性を引き起こす。
• 提案された最大エントロピー生成に基づくパラメータ化は、主ひずみ方向に沿って整列した平均ひずみに比例する異方的拡散を導入することにより、スケームを安定化させる。
• 数値結果から、異方的緩和モデル（RELANILOC）は、256²シミュレーションにおいてナビエ＝ストークス法やスマゴリンスキー法に比べ、相対速度誤差を最大50％まで低減することが分かった。
• このモデルは、渦の合体やフィラメント化プロセスにおける予測可能性を著しく向上させ、等方的緩和モデルやハイパーレイノルズ数モデルを上回る性能を示した。
• 乱流電流の発散は、高ひずみ領域および強い渦度勾配領域と強く相関しており、パラメータ化の物理的妥当性が裏付けられた。
• 50個の渦度パッチを含むシミュレーションにおいて、RELANILOCモデルは時間経過に伴い精度を維持し、T=90における相対速度誤差は0.02未満にとどまり、他のモデルに比べて著しく遅く増大した。