[論文レビュー] Parameterized Absolute Parallelism: A Geometry for Physical Applications

M. I. Wanas|ArXiv.org|Oct 26, 2000

Advanced Mathematical Theories and Applications参考文献 4被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、従来のAP幾何学における2つの主要な欠陥である曲率テンソルの消滅と物理的に意味のない経路方程式を解消するパラメータ化された絶対平行性（AP）幾何学のバージョンを導入する。パラメータ化されたアフィン接続を導入することにより、非ゼロの曲率とねじれを許容する幾何学が得られ、物理的に意味のある粒子軌道が可能となり、リーマン幾何学および従来のAP幾何学を一般化する。これにより、ゲージ理論的重力モデルを構築するのにより適したものとなる。

ABSTRACT

Absolute parallelism (AP) geometry is frequently used for physical applications. Although it is wider than Riemannian geometry, it has two main defects. The first is that its path equation does not represent physical trajectories of any test particle. The second is the identical vanishing of its curvature tensor. The present work shows that parameterizing this geometry would solve the two problems. Furthermore, the resulting parameterized AP-structure is more general than both the conventional AP-structure and the Riemannian structure. Also, it is shown that it can be reduced to one or the other, of these two geometric structures, in some special cases. The structure obtained is more appropriate for physical applications, especially in constructing field theories gauging gravity.

研究の動機と目的

• 従来の絶対平行性（AP）幾何学における2大欠陥、すなわち曲率テンソルの消滅と物理的に意味のない経路方程式を是正すること。
• AP幾何学の物理的適用可能性を保ちつつその矛盾を解消する一般化された幾何的枠組みを構築すること。
• 非ゼロの曲率とねじれを有する構造を提供することにより、重力をゲージ化する場の理論の構築を可能にすること。
• パラメータ化されたAP幾何学が、特定のパラメータの極限においてリーマン幾何学および従来のAP幾何学に還元されることを示すこと。
• ねじれを有する空間において、統一場理論および重力のゲージ理論的モデルのための実用的な幾何的基盤を提供すること。

提案手法

• 標準的なAP接続を変更するパラメータ化されたアフィン接続を導入し、非ゼロの曲率テンソルを許容する。
• パラメータ化されたフレームワークにおいて曲率テンソルを定義する2通りの異なる方法を用い、従来の方法が失敗する場合でも非ゼロの結果を得ることを保証する。
• テスト粒子の重力場内での物理的軌道を表現できる一般化された経路方程式（式45）を導出する。
• パラメータb=0かつa=1のとき、パラメータ化されたAP幾何学がリーマン幾何学に還元されることを示し、b=1かつa=0のとき従来のAP幾何学に還元されることを示す。
• 一般化されたビアンキ恒等式を適用し、新しい幾何的枠組みにおいて保存則と整合性を保つこと。
• 幾何的対象と物理的量との間に一対一の対応関係を確立し、幾何化の哲学の核心的基準を満たすこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 従来のAP幾何学における曲率テンソルの消滅は、その幾何的構造を保ったまま解消可能か？
• RQ2 パラメータ化されたAP幾何学は、テスト粒子の物理的に意味のある経路方程式を有するか？
• RQ3 パラメータ化されたAP幾何学は、特定のパラメータの極限において、リーマン幾何学および従来のAP幾何学に還元可能か？
• RQ4 パラメータ化されたAP幾何学は、従来の主張とは異なり、非ゼロの曲率とねじれを同時に有することが可能か？
• RQ5 この枠組みは、ねじれを有する空間において、ゲージ理論的重力モデルを構築するための実用的な基盤として機能可能か？

主な発見

• 2番目の方法（式29–34）およびパラメータ化された接続（式46）を通じて、パラメータ化されたAP幾何学は非ゼロの曲率テンソルを許容し、従来のAP幾何学の平坦性問題を解決する。
• 一般化された経路方程式（式45）は、重力場内でのテスト粒子の物理的軌道を物理的に意味のある形で表現可能であり、従来のAP幾何学の2番目の主要な欠陥を解消する。
• パラメータ化されたAP幾何学は、特定のパラメータ設定（b=0, a=1でリーマン幾何学、b=1, a=0で従来のAP幾何学）において両方の幾何学に還元可能であるため、リーマン幾何学および従来のAP幾何学よりも一般性が高く、より包括的である。
• この幾何学は、非ゼロの曲率とねじれを同時に有することが可能であり、これまではその組み合わせが不一致であると主張されていた事実に反する。
• パラメータをオフにした場合に一般相対性理論に一貫して還元可能であるため、他の相互作用と統一する場の理論の構築に適している。
• パラメータ化されたAP幾何学は、ねじれを有する空間においても、特に従来のAP幾何学の制限を克服し、ゲージ理論的重力モデルを構築するための実用的な幾何的基盤を提供する。