[論文レビュー] Parameterized Approximation Schemes for Independent Set of Rectangles and Geometric Knapsack

Fabrizio Grandoni, Stefan Kratsch+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 31被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、最大独立長方形集合問題（MISR）および回転を許容する2次元幾何的ナップサック問題（2DKR）のパrameterized近似スキーム（PAS）を提示する。MISRに対しては、時間 $k^{O(k/\varepsilon^8)}n^{O(1/\varepsilon^8)}$ で動作するPASを達成し、2DKRに対しても類似の効率を実現。固定された $\varepsilon$ に対してFPTに近い時間内に $(1+\varepsilon)$-近似解を提供する。W[1]-hardnessの障壁を、グリッド分解とカーネル化技術を用いて克服する。

ABSTRACT

The area of parameterized approximation seeks to combine approximation and parameterized algorithms to obtain, e.g., (1+epsilon)-approximations in f(k,epsilon)n^O(1) time where k is some parameter of the input. The goal is to overcome lower bounds from either of the areas. We obtain the following results on parameterized approximability: - In the maximum independent set of rectangles problem (MISR) we are given a collection of n axis parallel rectangles in the plane. Our goal is to select a maximum-cardinality subset of pairwise non-overlapping rectangles. This problem is NP-hard and also W[1]-hard [Marx, ESA'05]. The best-known polynomial-time approximation factor is O(log log n) [Chalermsook and Chuzhoy, SODA'09] and it admits a QPTAS [Adamaszek and Wiese, FOCS'13; Chuzhoy and Ene, FOCS'16]. Here we present a parameterized approximation scheme (PAS) for MISR, i.e. an algorithm that, for any given constant epsilon>0 and integer k>0, in time f(k,epsilon)n^g(epsilon), either outputs a solution of size at least k/(1+epsilon), or declares that the optimum solution has size less than k. - In the (2-dimensional) geometric knapsack problem (2DK) we are given an axis-aligned square knapsack and a collection of axis-aligned rectangles in the plane (items). Our goal is to translate a maximum cardinality subset of items into the knapsack so that the selected items do not overlap. In the version of 2DK with rotations (2DKR), we are allowed to rotate items by 90 degrees. Both variants are NP-hard, and the best-known polynomial-time approximation factor is 2+epsilon [Jansen and Zhang, SODA'04]. These problems admit a QPTAS for polynomially bounded item sizes [Adamaszek and Wiese, SODA'15]. We show that both variants are W[1]-hard. Furthermore, we present a PAS for 2DKR. For all considered problems, getting time f(k,epsilon)n^O(1), rather than f(k,epsilon)n^g(epsilon), would give FPT time f'(k)n^O(1) exact algorithms by setting epsilon=1/(k+1), contradicting W[1]-hardness. Instead, for each fixed epsilon>0, our PASs give (1+epsilon)-approximate solutions in FPT time. For both MISR and 2DKR our techniques also give rise to preprocessing algorithms that take n^g(epsilon) time and return a subset of at most k^g(epsilon) rectangles/items that contains a solution of size at least k/(1+epsilon) if a solution of size k exists. This is a special case of the recently introduced notion of a polynomial-size approximate kernelization scheme [Lokshtanov et al., STOC'17].

研究の動機と目的

• 本稿の目的は、NP困難な幾何的パッキング問題に対するパrameterized近似スキーム（PAS）を設計し、扱いにくさの障壁を克服することである。
• 特に、解のサイズ $k$ でパラメータ化した場合にW[1]-hardである最大独立長方形集合問題（MISR）および回転を許容する2次元幾何的ナップサック問題（2DKR）を対象としている。
• 目的は、任意の固定された $\varepsilon > 0$ に対して、時間 $f(k,\varepsilon)n^{O(1)}$ で $(1+\varepsilon)$-近似解を返すアルゴリズムを設計することである。FPT時間では矛盾するため、W[1]-hardnessを回避する。
• また、MISRに対して多項式サイズの近似カーネル化スキーム（PSAKS）を導入し、入力を $k^{O(1/\varepsilon^8)}$ 個の長方形に削減しながら、$(1+\varepsilon)$-近似解を保持する。
• 本研究では、重み付きバージョンへの拡張および回転なしの2DKRへの適用という課題にも取り組んでおり、これらは未解決の問題のまま残っている。

提案手法

• 各入力長方形がグリッドの交点を含むように、$k \times k$ グリッドを構築し、独立した部分問題に分解可能であることを保証する。
• フレドリックソンの平面上のグラフ分解法を非自明に適応し、グリッドを互いに素なセルグループに分割。各グループには最適解に属する長方形が定数個含まれる。
• 各部分問題を、各グループに含まれる最適長方形の数が有界であることを利用し、動的計画法または列挙により $n^{O(1/\varepsilon^8)}$ 時間で解く。
• カーネル化技術を用い、入力を $k^{O(1/\varepsilon^8)}$ 個の長方形に削減しながら、$k/(1+\varepsilon)$-近似解を保持する。これによりPSAKSが構築される。
• 2DKRに対しても類似の戦略を適用：ナップサックを幅・高さの制約に基づいて領域に分割し、補助的アイテムを導入してタイトなパッキング制約を強制する。再帰的分解を適用する。
• 2DKおよび2DKRが解のサイズ $k$ でパラメータ化した場合にW[1]-hardであることを、多重部分和問題へのパラメータ化還元により証明。FPTアルゴリズムが存在すれば、W[1]-hard問題に対してもFPTアルゴリズムが存在することを示唆する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最大独立長方形集合問題（MISR）に対して、$(1+\varepsilon)$-近似解を時間 $f(k,\varepsilon)n^{O(1)}$ で得るパrameterized近似スキーム（PAS）を設計することは可能か？
• RQ2 2DKRはW[1]-hardであるが、2次元幾何的ナップサック問題（2DKR）に対してもPASを設計することは可能か？
• RQ3 MISRに対して、入力を $k^{O(1/\varepsilon^8)}$ 個の長方形に削減しながら、$(1+\varepsilon)$-近似解を保持するカーネル化手法を多項式時間で拡張可能か？
• RQ4 本手法は、長方形に利益が関連付けられる重み付きバージョンのMISRおよび2DKRへ一般化可能か？
• RQ5 回転を用いて構造的制約を強制する現在のアプローチに依存しているが、2DK（回転なし）に対してもPASを構築可能か？

主な発見

• MISRに対して、時間 $k^{O(k/\varepsilon^8)}n^{O(1/\varepsilon^8)}$ で動作するパrameterized近似スキーム（PAS）を達成。$(1+\varepsilon)$-近似解が得られる。
• 本稿では、MISRに対する多項式サイズの近似カーネル化スキーム（PSAKS）を提示。入力を $k^{O(1/\varepsilon^8)}$ 個の長方形に削減しながら、サイズが少なくとも $k/(1+\varepsilon)$ の解を保持する。
• 2DKRに対しても類似の時間計算量を持つPASを構築。$f(k,\varepsilon)n^{O(1)}$ 時間で $(1+\varepsilon)$-近似解を達成する。
• 2DKおよび2DKRが解のサイズ $k$ でパラメータ化した場合にW[1]-hardであることを証明。FPTアルゴリズムが存在するならば、W[1] = FPT が成り立つことを示唆する。
• カーネル化技術により、縮小されたインスタンス上で得られる $c$-近似解は、元のインスタンス上で $c(1+\varepsilon)$-近似解に拡張可能である。
• 動的計画法による小規模な部分問題の解法を可能にするために、グリッド分解と補助的アイテムを用いてタイトなパッキング制約を強制する。