[論文レビュー] Parameterized Complexity of Fair Bisection: (FPT-Approximation meets Unbreakability)

Tanmay Inamdar, Daniel Lokshtanov+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2023

Advanced Graph Theory Research被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、頂点の色に関する公平性制約を伴うパラメータ化されたクラスタリング問題である Fair Bisection を導入し、色の数 c でパラメータ化した場合、k=0 であっても W[1]-難易度であることを示している。主な貢献は、分解不能な木分解と Lampis 方式の動的計画法を用いて、$2^{O(k\log k)} \cdot \left(\frac{c}{\epsilon}\right)^{O(c)} \cdot n^{O(1)}$ 時間で動作する FPT 近似アルゴリズムであり、これは高々 k パスエッジを持つバランスの取れた分割を求めるもので、A 内の各色クラスの (1±ϵ) に近い公平な表現を達成する。

ABSTRACT

In the Minimum Bisection problem input is a graph G and the goal is to partition the vertex set into two parts A and B, such that ||A|-|B|| ≤ 1 and the number k of edges between A and B is minimized. The problem is known to be NP-hard, and assuming the Unique Games Conjecture even NP-hard to approximate within a constant factor [Khot and Vishnoi, J.ACM'15]. On the other hand, a 𝒪(log n)-approximation algorithm [Räcke, STOC'08] and a parameterized algorithm [Cygan et al., ACM Transactions on Algorithms'20] running in time k^𝒪(k) n^𝒪(1) is known. The Minimum Bisection problem can be viewed as a clustering problem where edges represent similarity and the task is to partition the vertices into two equally sized clusters while minimizing the number of pairs of similar objects that end up in different clusters. Motivated by a number of egregious examples of unfair bias in AI systems, many fundamental clustering problems have been revisited and re-formulated to incorporate fairness constraints. In this paper we initiate the study of the Minimum Bisection problem with fairness constraints. Here the input is a graph G, positive integers c and k, a function χ:V(G) → {1, …, c} that assigns a color χ(v) to each vertex v in G, and c integers r_1,r_2,⋯,r_c. The goal is to partition the vertex set of G into two almost-equal sized parts A and B with at most k edges between them, such that for each color i ∈ {1, …, c}, A has exactly r_i vertices of color i. Each color class corresponds to a group which we require the partition (A, B) to treat fairly, and the constraints that A has exactly r_i vertices of color i can be used to encode that no group is over- or under-represented in either of the two clusters. We first show that introducing fairness constraints appears to make the Minimum Bisection problem qualitatively harder. Specifically we show that unless FPT=W[1] the problem admits no f(c)n^𝒪(1) time algorithm even when k = 0. On the other hand, our main technical contribution shows that is that this hardness result is simply a consequence of the very strict requirement that each color class i has exactly r_i vertices in A. In particular we give an f(k,c,ε)n^𝒪(1) time algorithm that finds a balanced partition (A, B) with at most k edges between them, such that for each color i ∈ [c], there are at most (1±ε)r_i vertices of color i in A. Our approximation algorithm is best viewed as a proof of concept that the technique introduced by [Lampis, ICALP'18] for obtaining FPT-approximation algorithms for problems of bounded tree-width or clique-width can be efficiently exploited even on graphs of unbounded width. The key insight is that the technique of Lampis is applicable on tree decompositions with unbreakable bags (as introduced in [Cygan et al., SIAM Journal on Computing'14]). An important ingredient of our approximation scheme is a combinatorial result that may be of independent interest, namely that for every k, every graph G admits a tree decomposition with adhesions of size at most 𝒪(k), unbreakable bags, and logarithmic depth.

研究の動機と目的

• 各色クラスが2つのクラスタに割合的に代表されるように制約を課した最小二分割問題を形式化し、その性質を調査すること。
• Fair Bisection のパラメータ化された複雑さを、パラメータ k（カットサイズ）、c（色の数）、ϵ（公平性近似要因）に関して調査すること。
• 標準的なパラメータ化の下で、最小二分割問題に対する正確な FPT アルゴリズムが、Fair Bisection に拡張可能かどうかを同定すること。
• カットサイズ k を維持しながら (1±ϵ)-公平性を達成する、新しい FPT 近似アルゴリズムの開発

提案手法

• Lampis (ICALP'18) の手法を応用し、分解不能な袋を備えた木分解に基づくパラメータ化近似フレームワークを提案。
• 任意のグラフ G と整数 k に対して、深さが対数的で接着サイズが 8k 以下、かつ (9k, k)-分解不能な木分解を $2^{O(k\log k)}n^{O(1)}$ 時間で計算できる、新しい組合せ的構成を導入。
• 分解不能な袋における動的計画法を用いて、近似公平性制約を満たす解を効率的に探索。
• 各ベクトルに対してスターベースのグラフを用いたパラメータを保存する構成により、多変数部分和問題を Fair Bisection に還元し、k=0 の場合に W[1]-難易度を確立。
• 正確な公平性制約の緩和：色 i の頂点が A に正確に $r_i$ 個存在するのではなく、$ (1 \pm \epsilon)r_i $ を許容することで、効率的な FPT 近似が可能になる。
• 多変数分割問題から Fair Bisection への還元を適用し、カットサイズ 0 の公平な二分割が存在するための必要十分条件が、元の MDSS 問題が yes インスタンスであることであることを示した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 k=0 であっても、色の数 c でパラメータ化した Fair Bisection は W[1]-難易度か？
• RQ2 最小二分割問題に対する FPT アルゴリズムが、$f(k,c) \cdot n^{O(1)}$ 時間で動作する Fair Bisection に拡張可能か？
• RQ3 カットサイズ k を維持しながら (1±ϵ)-公平性を達成する FPT 近似アルゴリズムが存在するか？
• RQ4 Lampis (ICALP'18) の有界木幅における FPT 近似の手法が、分解不能な袋を用いることで、木幅が有界でないグラフに対しても拡張可能か？
• RQ5 どのような木分解の構造的性質が、Fair Bisection の効率的な FPT 近似を可能にするか？

主な発見

• Fair Bisection は、k=0 であっても色の数 c でパラメータ化した場合、W[1]-難易度である。これは、FPT=W[1] でない限り、$f(k,c) \cdot n^{O(1)}$ 形式の FPT アルゴリズムが存在しないことを示唆する。
• カットサイズが高々 k パスエッジで、(1±ϵ)-公平性を達成する FPT 近似アルゴリズムが存在し、実行時間は $2^{O(k\log k)} \cdot \left(\frac{c}{\epsilon}\right)^{O(c)} \cdot n^{O(1)}$ である。
• このアルゴリズムは、分解不能な袋を備えた木分解に Lampis 方式の動的計画法を適用することで得られ、分解不能な木分解は $2^{O(k\log k)}n^{O(1)}$ 時間で構築可能である。
• 任意のグラフ G と整数 k に対して、深さが対数的で接着サイズが 8k 以下、かつ (9k, k)-分解不能な木分解を計算可能である。
• 近似スキームは頑健であり、頂点が複数の色クラスに属する場合にも拡張可能である。
• $\epsilon = 1/(2n)$ と設定することで、FPT 近似アルゴリズムは、最小二分割問題に対する $2^{O(k\log k)} \cdot n^{O(1)}$ アルゴリズムの特別な場合に回復される。