[論文レビュー] Parameterized Complexity of Finding a Maximum Common Vertex Subgraph Without Isolated Vertices

Palash Dey, Anubhav Dhar+3 more|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2026

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ひとこと要約

要約: 論文は、孤立頂点を含まない最大共通頂点部分グラフを研究し、NP硬度を証明し、サブグラフサイズ h によってパラメータ化した FPT アルゴリズムを提示し、構造的グラフパラメータ全体にわたる包括的なパラメータ化複雑性の風景を整理する。

ABSTRACT

In this paper, we study the Maximum Common Vertex Subgraph problem: Given two input graphs $G_1,G_2$ and a non-negative integer $h$, is there a common subgraph $H$ on at least $h$ vertices such that there is no isolated vertex in $H$. In other words, each connected component of $H$ has at least $2$ vertices. This problem naturally arises in graph theory along with other variants of the well-studied Maximum Common Subgraph problem and also has applications in computational social choice. We show that this problem is NP-hard and provide an FPT algorithm when parameterized by $h$. Next, we conduct a study of the problem on common structural parameters like vertex cover number, maximum degree, treedepth, pathwidth and treewidth of one or both input graphs. We derive a complete dichotomy of parameterized results for our problem with respect to individual parameterizations as well as combinations of parameterizations from the above structural parameters. This provides us with a deep insight into the complexity theoretic and parameterized landscape of this problem.

研究の動機と目的

• 孤立頂点を禁じた自然な変種としての Maximum Common Subgraph 問題を研究する動機。
• ターゲットサブグラフサイズ h によるパラメータ化で NP-hard を確立し、FPT アルゴリズムを開発する。
• 構造パラメータ（頂点被覆数、木深、道幅、木幅、最大次数）で問題を特徴づけ、計算複雑性の二分法を提供する。
• 平面グラフの実装での近似可能性を検討し、計算社会選択における関連グラフ問題への含意を論じる。

提案手法

• MaxComSubG および No-Isolated-Vertices バリアントを定式化し、最大共通星林の発見と同値であることを示す。
• h によるパラメータ化で MaxComSubG の FPT アルゴリズムを開発し、計算時間を 2^{O(h)} · n にする。
• Dominating Set を MaxComSubG に還元して、パラメータが頂点被覆数のとき W[2]-hard であることを確立する。
• P3-Factor からの還元を用いて、平面グラフかつ最大次数 3 でも MaxComSubG が NP-hard であることを証明する。
• 和としての頂点被覆数をパラメータとする場合の ILP ベースの FPT アプローチを提示する。
• 最大次数が有界な平面グラフに対して EPTAS を提供し、硬さ結果を補完する。

Figure 1 : Construction of $T_{i}$ .

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ターゲットサブグラフサイズ h でパラメータ化したときの MaxComSubG のパラメータ化複雑性はどうなるか。
• RQ2 頂点被覆数、木深、道幅、木幅、および最大次数などの構造的パラメータ（およびそれらの組み合わせ）に対して、MaxComSubG の挙動はどうなるか。
• RQ3 MaxComSubG はさまざまな単一パラメータ設定または複数パラメータ設定で FPT かハードか。
• RQ4 最大次数が有界な平面グラフ上での MaxComSubG の近似は効率的に可能か。
• RQ5 これらの結果がグラフ理論および計算社会選択の関連問題に与える影響は何か。

主な発見

• MaxComSubG は NP-hard であり、共通サブグラフのサイズ h をパラメータとする場合に FPT アルゴリズムを持つ。
• 少なくとも一方の入力グラフの最小頂点被覆でパラメータ化したとき、MaxComSubG は W[2]-hard である。
• MaxComSubG は両方の入力グラフの最大次数の和をパラメータとすると para-NP-hard。
• MaxComSubG は両方の入力グラフの頂点被覆数の和をパラメータとすれば FPT。
• MaxComSubG は両方の入力グラフの木深の和をパラメータとすると para-NP-hard であり、従って道幅や木幅でも同様。
• 木深と最大次数の和をパラメータとすると FPT アルゴリズムが存在し、頂点被覆パラメータ化には ILP ベースの FPT アプローチが存在する。
• 最大次数が 3 の平面グラフに対して NP-hard である結果があり、境界度のある平面グラフに対する EPTAS で補完される。
• 双方のグラフの頂点被覆が at most k のとき、最大共通星林のサイズに対して FPT アルゴリズムが存在し、時間計算量は 2^{2^{O(k)}} · poly(n)。

Figure 2 : Construction of $G_{2}$ .