[論文レビュー] Parameterized Complexity of Incomplete Connected Fair Division

Harmender Gahlawat, Meirav Zehavi|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2023

Game Theory and Voting Systems被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、正確に p 個の頂点が割り当てられ、各エージェントが連結部分グラフを受けることを保証する、グラフ上の公平配分の一般化である不完全連結公平配分（ICFD）を導入する。EF、EF1、EFX のバリエーションは、小さな構造的パラメータでさえも W[1]-hard のままである一方、PROP-ICFD は p のみをパrameter化した場合に FPT であることが、確率的カラーコーディングアルゴリズムを用いて示され、中心的な公平性基準における主要な tractability 結果を提供する。

ABSTRACT

Fair division of resources among competing agents is a fundamental problem in computational social choice and economic game theory. It has been intensively studied on various kinds of items (divisible and indivisible) and under various notions of fairness. We focus on Connected Fair Division (CFD), the variant of fair division on graphs, where the resources are modeled as an item graph. Here, each agent has to be assigned a connected subgraph of the item graph, and each item has to be assigned to some agent. We introduce a generalization of CFD, termed Incomplete CFD (ICFD), where exactly p vertices of the item graph should be assigned to the agents. This might be useful, in particular when the allocations are intended to be "economical" as well as fair. We consider four well-known notions of fairness: PROP, EF, EF1, EFX. First, we prove that EF-ICFD, EF1-ICFD, and EFX-ICFD are W[1]-hard parameterized by p plus the number of agents, even for graphs having constant vertex cover number (vcn). In contrast, we present a randomized FPT algorithm for PROP-ICFD parameterized only by p. Additionally, we prove both positive and negative results concerning the kernelization complexity of ICFD under all four fairness notions, parameterized by p, vcn, and the total number of different valuations in the item graph (val).

研究の動機と目的

• 不完全連結公平配分（ICFD）のパrameter化された複雑性を形式化し分析すること。ICFD は、正確に p 個の頂点が割り当てられるグラフ上の公平配分の一般化である。
• 構造的パラメータ（p、頂点被覆番号（vcn）、エージェント数（|A|）、異なる評価値の数（val））に関して、4 つの公平性基準（PROP、EF、EF1、EFX）における ICFD の tractability を調査すること。
• さまざまなパラメータの組み合わせ下で、ICFD が効率的なカーネル化または多項式圧縮を許容するかを同定すること。
• 特に PROP 公平性基準において、ICFD がどのような条件下で tractable になるかを特定すること。

提案手法

• ICFD を、正確に p 個のアイテムグラフの頂点がエージェントに割り当てられ、各エージェントが連結部分グラフを受けるという、連結公平配分（CFD）の一般化として導入する。
• p + vcn + |A| をパラメータとする EF-ICFD、EF1-ICFD、EFX-ICFD の W[1]-hardness を、(k,M)-SUM 問題からのパrameter化された還元を用いて証明する。これは、vcn が定数であるグラフに対しても成り立つ。
• φ-ICFD（φ ∈ {EF, EF1, EFX, PROP}）に対して、vcn + val + p をパラメータとする指数的カーネルを設計し、インスタンスを O(p²vcnvalval + vcn) のサイズにまで縮小できることを示す。
• Red-Blue Dominating Set 問題からの多項式パラメータ変換を用いて、同じパラメータ化下で φ-ICFD が多項式圧縮を許容しないことを証明する。これは、NP ⊆ coNP/poly が成り立たない限り成立する。
• PROP-ICFD に対して、確率的カラーコーディングアルゴリズムを開発する。|A| 色を用いたランダムな頂点彩色により、有効な連結割当を特定し、時間計算量 e^p^{O(p \log p)} で FPT 時間を達成する。
• 一様ランダム彩色下で、有効な PROP 割当が確率 (1/|A|)^p 以上で存在することを活用し、繰り返し実行により成功確率を強化可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 星型グラフ（vcn が定数）において、p + |A| をパラメータとする EF-ICFD は W[1]-hard であるか？
• RQ2 EF1-ICFD と EFX-ICFD は、(k,M)-SUM 問題から還元可能であり、vcn = 2 のグラフに対しても、p + vcn + |A| をパラメータとする W[1]-hardness を示せるか？
• RQ3 他の公平性基準の難易度とは対照的に、p のみをパラメータとする PROP-ICFD は FPT アルゴリズムを許容するか？
• RQ4 φ-ICFD（φ ∈ {PROP, EF, EF1, EFX}）は、vcn + val + p をパラメータとする指数的カーネル化が可能であり、このパラメータ化下で多項式圧縮は不可能であると予想されるか？
• RQ5 PROP-ICFD と PRP-ICFD の挙動は、公平性が全グラフではなく割り当てられた部分グラフに基づく点でどのように異なるか？

主な発見

• EF-ICFD は、p + |A| をパラメータとする場合、星型グラフでさえも (k,M)-SUM 問題からの還元により W[1]-hard である。
• EF1-ICFD と EFX-ICFD は、p + vcn + |A| をパラメータとする場合、頂点被覆番号が 2 のグラフに対しても W[1]-hard である。
• φ ∈ {EF, EF1, EFX} に対する φ-ICFD は、サイズが最大 p²vcnvalval + vcn の指数的カーネルを許容する。また、PROP-ICFD はサイズが最大 p²vcnvalval + vcn + p のカーネルを許容する。
• vcn + val + |A| + p をパラメータとする φ-ICFD は、NP ⊆ coNP/poly が成り立たない限り多項式圧縮を許容しない。これは、多項式パラメータ変換による証明で示された。
• PROP-ICFD は、p のみをパラメータとする場合、時間計算量 e^p^{O(p \log p)} で実行され、成功確率が 1 − 1/e 以上の確率的アルゴリズムにより FPT である。
• PROP-ICFD のカラーコーディングアルゴリズムの成功確率は、一様ランダム彩色下で (1/|A|)^p 以上であり、繰り返し実行により成功確率を強化可能である。