[論文レビュー] Parameterized Complexity of Streaming Diameter and Connectivity Problems

Jelle J. Oostveen, Erik Jan van Leeuwen|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2022

Complexity and Algorithms in Graphs被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、ストリーミングモデルにおける直径および接続性のパラメータ化された複雑さを調査し、サイズ $k$ の頂点被覆が、隣接リスト（AL）モデルで定数回のパス、$O(k\log n)$ ビットのアルゴリズムを可能にすることを示している。他のパラメータに関しては強い下界を証明し、頂点被覆 $[k]$ の新しいストリーミングカーネル化を導入し、$O(k^2)$ パスおよび $O(\log n)$ メモリで $2k$-頂点カーネルを生成する。さらに、二部グラフおよび $H$-フリーなモジュレータに関してはタイトな境界を確立している。

ABSTRACT

We initiate the investigation of the parameterized complexity of Diameter and Connectivity in the streaming paradigm. On the positive end, we show that knowing a vertex cover of size $k$ allows for algorithms in the Adjacency List (AL) streaming model whose number of passes is constant and memory is $O(\log n)$ for any fixed $k$. Underlying these algorithms is a method to execute a breadth-first search in $O(k)$ passes and $O(k \log n)$ bits of memory. On the negative end, we show that many other parameters lead to lower bounds in the AL model, where $Ω(n/p)$ bits of memory is needed for any $p$-pass algorithm even for constant parameter values. In particular, this holds for graphs with a known modulator (deletion set) of constant size to a graph that has no induced subgraph isomorphic to a fixed graph $H$, for most $H$. For some cases, we can also show one-pass, $Ω(n \log n)$ bits of memory lower bounds. We also prove a much stronger $Ω(n^2/p)$ lower bound for Diameter on bipartite graphs. Finally, using the insights we developed into streaming parameterized graph exploration algorithms, we show a new streaming kernelization algorithm for computing a vertex cover of size $k$. This yields a kernel of $2k$ vertices (with $O(k^2)$ edges) produced as a stream in $ ext{poly}(k)$ passes and only $O(k \log n)$ bits of memory.

研究の動機と目的

• ストリーミングモデルにおける直径および接続性のパラメータ化された複雑さを理解すること、特に構造的グラフパラメータの下での挙動を明らかにすること。
• 小さな頂点被覆または $H$-フリーなモジュレータが分かっている場合に、効率的なストリーミングアルゴリズムが可能かどうかを特定すること。
• 低メモリおよび低パス複雑度を実現する頂点被覆 $[k]$ のストリーミングカーネル化アルゴリズムを開発すること。
• ALおよびEAモデルにおけるさまざまなグラフパラメータのタイトな下界を確立すること。

提案手法

• 隣接リスト（AL）ストリーミングモデルを用い、エッジが頂点ごとにグループ化され、両端から観測可能であり、効率的なBFSのシミュレーションを可能にする。
• サイズ $k$ の頂点被覆をパラメータとして用い、$O(k)$ パスおよび $O(k\log n)$ ビットのメモリで動作するBFSアルゴリズムを開発する。
• 修正版のHopcroft-Karpアルゴリズムと交互パス探索を適用し、$O(k)$ パスおよび $O(k\log n)$ メモリで二部グラフにおける最小頂点被覆を計算する。
• 二段階のアプローチを採用する：まず、既知のモジュレータを用いて入力グラフをスパースなグラフクラスに変換し、次に最小頂点被覆の計算を用いてカーネル化を実行する。
• 既知の $H$-フリーなモジュレータに関する結果をストリーミング設定に適用し、ポジティブおよびネガティブな両方の結果を導出する。
• 通信複雑度の技術、特に非交差問題および順列問題を用いて、ALおよびEAモデルにおける下界を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 頂点被覆のサイズ $k$ が事前に分かっている場合、ストリーミングモデルで直径および接続性が効率的に解けるか？
• RQ2 距離が $\ell$-クリークまでのパラメータ（頂点被覆 $[k]$ の双対パラメータ）を計算するストリーミング複雑度は何か？
• RQ3 ALモデルにおいて、区間グラフ上で直径および接続性のための効率的ストリーミングアルゴリズムは存在するか？
• RQ4 孤立頂点を許容する前提で、ALモデルにおいてスプリットグラフ上で接続性は $O(\log n)$ メモリで解けるか？
• RQ5 パラメータ $O(\text{poly}(k))$ パスおよび $O(\text{poly}(k, \log n))$ メモリを用いた頂点被覆 $[k]$ のストリーミングアルゴリズムは存在するか？

主な発見

• サイズ $k$ の頂点被覆が存在する場合、ALモデルで直径および接続性のための定数回パス、$O(k\log n)$-ビットのアルゴリズムが可能である。
• 本稿では、頂点被覆 $[k]$ のための新しいストリーミングカーネル化アルゴリズムを提示し、ALモデルで $O(k^2)$ パスおよび $O(k\log n)$ メモリで $2k$-頂点カーネルを生成する。
• エッジ到着（EA）モデルでは、同じカーネル化に $O(k^3)$ パスが必要であり、より弱いモデルのコストが顕著に現れている。
• 二部グラフにおける直径に関して、ALモデルで $\Omega(n^2/p)$ の下界が証明され、$p$ が大きい場合の強い非効率性が示された。
• 定数サイズの大多数の $H$-フリーなモジュレータに関しては、ALモデルで $\Omega(n/p)$ のメモリが必要であり、定数 $k$ に対しても成立する。これは、頂点被覆がフロンティアパラメータであることを示唆する。
• スパースグラフにおいて、接続性および直径の1パスアルゴリズムは $\Omega(n\log n)$ ビットのメモリを必要とし、多くの場合定数パラメータ値に対してもこの境界は成立する。