[論文レビュー] Parameterized Inapproximability for Steiner Orientation by Gap Amplification

Michał Włodarczyk|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2019

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 38被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、パrameterized 複雑性における新しいハッシングに基づくギャップ拡大技術を用いて、k-Steiner Orientation 問題に対する強い近似不能性結果を確立している。FPT ≠ W[1] という標準的な複雑性仮定の下で、どの FPT アルゴリズムでも (log k)^o(1) より良い近似比を達成できないことが示され、同様にどの多項式時間アルゴリズムでも (log n)^o(1) より良い近似比を達成できないことが示された。これにより、自然な近似問題として初めて W[1]-完全性が確立された。

ABSTRACT

In the $k$-Steiner Orientation problem, we are given a mixed graph, that is, with both directed and undirected edges, and a set of $k$ terminal pairs. The goal is to find an orientation of the undirected edges that maximizes the number of terminal pairs for which there is a path from the source to the sink. The problem is known to be W[1]-hard when parameterized by k and hard to approximate up to some constant for FPT algorithms assuming Gap-ETH. On the other hand, no approximation factor better than $O(k)$ is known. We show that $k$-Steiner Orientation is unlikely to admit an approximation algorithm with any constant factor, even within FPT running time. To obtain this result, we construct a self-reduction via a hashing-based gap amplification technique, which turns out useful even outside of the FPT paradigm. Precisely, we rule out any approximation factor of the form $(\log k)^{o(1)}$ for FPT algorithms (assuming FPT $ e$ W[1]) and $(\log n)^{o(1)}$ for~purely polynomial-time algorithms (assuming that the class W[1] does not admit randomized FPT algorithms). Moreover, we prove $k$-Steiner Orientation to belong to W[1], which entails W[1]-completeness of $(\log k)^{o(1)}$-approximation for $k$-Steiner Orientation This provides an example of a natural approximation task that is complete in a parameterized complexity class. Finally, we apply our technique to the maximization version of directed multicut - Max $(k,p)$-Directed Multicut - where we are given a directed graph, $k$ terminals pairs, and a budget $p$. The goal is to maximize the number of separated terminal pairs by removing $p$ edges. We present a simple proof that the problem admits no FPT approximation with factor $O(k^{\frac 1 2 - ε})$ (assuming FPT $ e$ W[1]) and no polynomial-time approximation with ratio $O(|E(G)|^{\frac 1 2 - ε})$ (assuming NP $ ot\subseteq$ co-RP).

研究の動機と目的

• 既知の O(k) 近似上界と、k-Steiner Orientation に対する定数因子 FPT 近似の欠如との間のギャップを埋める。
• FPT ≠ W[1] および NP ⊈ co-RP の下で、k-Steiner Orientation に対する強い近似不能性結果を確立する。
• この問題が (log k)^o(1)-近似において W[1]-完全であることを示し、W[1] において最初の自然な近似問題として完全性を確立する。
• この技術を有向マルチカットの最大化版に拡張し、同様の近似不能性境界を示す。

提案手法

• パrameterized 減少において許容される指数的ブロー・アップを活用する、ハッシングに基づくギャップ拡大を用いた新しい自己還元。
• 混合グラフにおけるパス系のモデル化を可能にする、標準パス族の構築。これにより、制御された衝突検出が可能になる。
• Chernoff 確率不等式を用いて、パスのサポートの確率的サンプリングに関する議論を行い、高い確率でギャップ拡大が達成されることを保証する。
• 独立したパスペアの集合と、衝突のないエッジ規則を用いて、k-Steiner Orientation から k-Clique へのパラメータ付き還元を構築する。
• 有向無閉路グラフにおけるデュアート技法を用い、反復的に解の長さを短縮することで、パス長に対する矛盾に基づく W[1]-完全性の証明を行う。
• Max (k,p)-Directed Multicut に対しても同様の枠組みを適用し、類似したギャップ拡大とサンプリングの議論により境界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 FPT ≠ W[1] の下で、k-Steiner Orientation が定数因子 FPT 近似を許容するか？
• RQ2 k-Steiner Orientation に対して (log k)^o(1)-近似が FPT で達成可能か、それともこれが除外されるか？
• RQ3 ギャップ拡大技術を FPT を超えて一般化することで、多項式時間における新たな近似不能性結果が得られるか？
• RQ4 同じ手法が、他のパラメータ付き問題、例えば有向マルチカットに対して、タイトな近似不能性境界をもたらすか？
• RQ5 F(k)-Gap k-Clique は F(k) = o(k) の場合に W[1]-困難であるか。同様に k-Dominating Set についても同様か？

主な発見

• FPT ≠ W[1] の下で、k-Steiner Orientation は (log k)^o(1) の FPT 近似を許容しない。
• この問題は (log k)^o(1)-近似において W[1]-完全である。これにより、W[1] において最初の自然な近似タスクとしての完全性が確立された。
• NP ⊈ co-RP を仮定すると、k-Steiner Orientation に対して多項式時間アルゴリズムが (log n)^o(1) より良い近似比を達成できない。
• 同様の技術により、Max (k,p)-Directed Multicut は FPT ≠ W[1] の下で O(k^{1/2 - ε}) の FPT 近似を許容しないことが証明された。
• Max (k,p)-Directed Multicut については、NP ⊈ co-RP を仮定すると、|E(G)|^{1/2 - ε} の比を達成する多項式時間アルゴリズムは存在しない。
• ハッシングに基づくギャップ拡大技術により、パラメータにおける指数的ブロー・アップを伴う自己還元が可能となり、パラメータ付き設定における PCP の制限を回避できた。