[論文レビュー] Parameterized Integer Quadratic Programming: Variables and Coefficients

Daniel Lokshtanov|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2015

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 21被引用数 22

ひとこと要約

本稿では、目的関数および制約行列における変数の数 $ n $ と最大絶対係数値 $ \alpha $ をパrameterとする整数二次計画法（IQP）の固定パrameter tractable（FPT）アルゴリズムを提示する。このアルゴリズムにより、頂点被覆サイズをパrameterとする最適線形配置問題に対する初めてのFPT解法が可能となり、パラメータ化複雑性における長年の未解決問題が解かれた。

ABSTRACT

In the Integer Quadratic Programming problem input is an n*n integer matrix Q, an m*n integer matrix A and an m-dimensional integer vector b. The task is to find a vector x in Z^n, minimizing x^TQx, subject to Ax <= b. We give a fixed parameter tractable algorithm for Integer Quadratic Programming parameterized by n+a. Here a is the largest absolute value of an entry of Q and A. As an application of our main result we show that Optimal Linear Arrangement is fixed parameter tractable parameterized by the size of the smallest vertex cover of the input graph. This resolves an open problem from the recent monograph by Downey and Fellows.

研究の動機と目的

• 変数の数 $ n $ および $ Q $ と $ A $ における最大絶対係数 $ \alpha $ をパrameterとする $ n + \alpha $ にパラメータ化された整数二次計画法（IQP）の固定パラメータ tractability を確立すること。
• 最小頂点被覆のサイズをパrameterとする最適線形配置問題のパラメータ化複雑性を解明し、それがFPTであることを示すこと。
• 線形および凸最適化を超えて、非凸的で二次的な整数計画問題へまでFPT技術の適用範囲を拡張すること。
• 非線形および非凸的数学的プログラミングにおけるパラメータ化複雑性の新しい研究分野を開くこと。

提案手法

• 頂点被覆 $ C $ に対して、頂点タイプの配置を符号化する変数 $ x_S^i $ を用いて、最適線形配置問題を整数二次計画問題（IQP）として定式化する。
• コスト関数 $ \text{val}(\sigma, G) $ を、係数が $ \pm 2^k k^2 $ で有界な半整数係数を持つ変数 $ x_S^i $ の二次関数としてモデル化する。ここで $ k $ は頂点被覆のサイズである。
• 目的関数を 2 倍することでIQPを整数係数に変換し、最適解を保持しつつ、主なFPTアルゴリズムの適用を可能にする。
• 頂点被覆の構造とスーパー一様解の性質を用いて、変数数を $ 2^k (k+1) $、制約数を $ 2^k (k+2) $ に有界化する。
• 走行時間 $ f(n, \alpha) L^{O(1)} $ の新しいFPTアルゴリズムをIQPに適用する。ここで $ f $ は $ n $ と $ \alpha $ のみに依存し、$ L $ は入力サイズである。
• 係数の有界性を活用して、右辺 $ b $ が大きくなってもブルートフォースな列挙を回避する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 整数二次計画法（IQP）は、変数数 $ n $ と最大係数 $ \alpha $ をパrameterとする場合に固定パラメータ tractable であるか？
• RQ2 最小頂点被覆のサイズをパrameterとする最適線形配置問題は、FPT時間で解けるか？
• RQ3 係数サイズ $ \alpha $ に対して任意の依存関係を許容するIQPのパラメータ化アルゴリズムは存在するか？特に $ b $ が大きい場合でも同様に成立するか？
• RQ4 FPT技術は、線形および凸ケースを超えて、非凸的で二次的な整数計画問題へまで拡張可能か？
• RQ5 特に、有界次数の目的関数および制約を持つ高次多項式整数計画問題のパラメータ化複雑性は何か？

主な発見

• 整数二次計画法（IQP）は、$ n + \alpha $ をパrameterとする固定パラメータ tractable であり、走行時間は $ f(n, \alpha) L^{O(1)} $ である。ここで $ f $ は $ n $ と $ \alpha $ のみに依存する。
• 最適線形配置問題は、最小頂点被覆のサイズをパrameterとする場合に固定パラメータ tractable であり、DowneyとFellowsの著書に記された長年の未解決問題が解かれた。
• 最適線形配置問題のコスト関数は、$ 2^k (k+1) $ 個の変数における二次関数として表現可能であり、係数は $ [-2^k k^2, 2^k k^2] $ の範囲に収まる。このようなIQPは多項式時間で構築可能である。
• IQPの目的関数を2倍することで、等価な整数係数IQPが得られ、これにより係数が有界なIQPに対する主なFPTアルゴリズムの適用が可能になる。
• 係数の有界性と頂点被覆からの構造的制約を活用することで、$ b $ が大きくなってもブルートフォースな列挙を回避する。
• 本研究は、非凸的かつ非線形な整数計画法におけるFPTアルゴリズムの基盤を築き、パラメータ化複雑性における新たな研究分野を開いた。