[論文レビュー] Parameterized Intractability of Motif Search Problems

Michael R. Fellows, Jens Gramm+1 more|ArXiv.org|May 21, 2002

Algorithms and Data Compression参考文献 24被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、2つの中心的なモチーフ探索問題—Closest Substring および Consensus Patterns—のパラメータ化された非決定的難易度を確立した。具体的には、入力文字列の数 $k$ をパラメータとして見たとき、それらが W[1]-難易であることを証明した。これは、2進アルファベット上でも同様に成り立つ。この結果は、$k$ に対して効率的な固定パラメータアルゴリズムが存在する可能性が低いことを示し、$k \geq 3$ の場合、実用的な実装が困難であることを裏付ける。

ABSTRACT

We show that Closest Substring, one of the most important problems in the field of biological sequence analysis, is W[1]-hard when parameterized by the number k of input strings (and remains so, even over a binary alphabet). This problem is therefore unlikely to be solvable in time O(f(k)\cdot n^{c}) for any function f of k and constant c independent of k. The problem can therefore be expected to be intractable, in any practical sense, for k>=3. Our result supports the intuition that Closest Substring is computationally much harder than the special case of Closest String, although both problems are NP-complete. We also prove W[1]-hardness for other parameterizations in the case of unbounded alphabet size. Our W[1]-hardness result for Closest Substring generalizes to Consensus Patterns, a problem of similar significance in computational biology.

研究の動機と目的

• 計算生物学におけるモチーフ探索問題のパラメータ化された複雑性を調査すること、特に Closest Substring および Consensus Patterns を対象とすること。
• 入力文字列の数 $k$ をパラメータとして見たとき、これらの問題が効率的な固定パラメータアルゴリズムを有するかどうかを特定すること。
• これらの問題について、NP完全性と固定パラメータ可解性の計算的境界を明確にすること。
• パラメータ $k$ を固定した場合、距離パラメータ $d$ やアルファベットサイズが複雑性に与える影響を検討すること。
• $k \geq 3$ の場合、正確なアルゴリズムの実用的非可能性を説明する形式的な難易性結果を確立すること。

提案手法

• グラフの頂点と辺を文字列で2進表現する手法を用いて、$k$-Clique 問題から Consensus Patterns への還元を行う。
• 解文字列 $s$ の構造的制約をハミング距離の上限を用いて強制するためのテンプレート文字列と選択文字列の構築。
• 選択文字列内の一致における '1' の位置の整合性を保つために、列ごとの不一致解析を用いる。
• 一致間での多数決を用いて、ハミング距離制約に基づき解文字列 $s$ の正しいビットを同定する。
• 一致間で一貫した '1' の位置が存在することは、元のグラフに $k$-クリークが存在することを示し、W[1]-難易性を確立する。
• 同様の符号化および距離制約の議論を用いて、Closest Substring に対しても同様の還元を拡張し、最大距離測度における W[1]-難易性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 入力文字列の数 $k$ をパラメータとした場合、Closest Substring 問題は W[1]-難易であるか？
• RQ2 2進アルファベット上でも、Closest Substring 問題の W[1]-難易性は維持されるか？
• RQ3 入力文字列の数 $k$ をパラメータとした場合、Consensus Patterns 問題は W[1]-難易であるか、2進アルファベット上でも同様か？
• RQ4 アルファベットサイズが定数のとき、距離パラメータ $d$ を用いたこれらの問題のパラメータ化された複雑性は解けるか？
• RQ5 距離測度（最大距離対和）が、モチーフ探索問題のパラメータ化された複雑性に与える影響は何か？

主な発見

• Closest Substring 問題は、$k$ をパラメータとして W[1]-難易であり、2進アルファベット上でも同様に成り立つ。これは、任意の関数 $f$ と定数 $c$ に対して $O(f(k) \cdot n^c)$ のアルゴリズムが存在しないことを示唆する。
• Consensus Patterns 問題は、2進アルファベット上でも $k$ をパラメータとして W[1]-難易である。これは $k$-Clique 問題からの還元によって示された。
• 解文字列の符号化部は、選択文字列の一致において一貫した '1' の位置が存在することから、元のグラフにおける $k$-クリークを符号化している。
• 符号化部の各列について、不一致の数はちょうど ${k \choose 2} - (k-1)$ である。これは、解の構造的整合性を強制する。
• 距離パラメータ $d$ が小さくない場合でも結果が成り立つため、これは通常の Consensus Patterns の文脈で特に困難であることを示している。
• $k$ をパラメータとして両問題に W[1]-難易性が成立するため、効率的な固定パラメータアルゴリズムは存在しない可能性が高く、これらの問題に対する実用的な EPTAS の可能性に疑問を呈する。