[論文レビュー] Parameterized summation relations for the Stieltjes constants

Mark W. Coffey|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2010

Mathematical functions and polynomials参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、Hurwitzゼータ関数の積分表現およびメリン変換を用いて、Stieltjes定数 γₖ(a) および関連関数 Aₖ(q) の多パラメータ和公式を導出する。主な貢献は、有理数引数におけるStieltjes定数の和を対数関数およびポリガンマ関数に関連付ける正確な関係式（例：命題1および2）を提示することであり、ベルヌーイ多項式およびポリガンマ関数の相反法則への応用を含む。

ABSTRACT

The Stieltjes constants $γ_k(a)$ appear in the regular part of the Laurent expansion of the Hurwitz zeta function about its only polar singularity at $s=1$. We present multi-parameter summation relations for these constants that result from identities for the Hurwitz zeta function. We also present multi-parameter summation relations for functions $A_k(x)$ that may be expressed as sums over the Stieltjes constants. Integral representations, especially including Mellin transforms, play an important role. As a byproduct, reciprocity and other summatory relations for polygamma functions and Bernoulli polynomials may be obtained.

研究の動機と目的

• Hurwitzゼータ関数の関数的恒等式から生じるStieltjes定数 γₖ(a) の新しい多パラメータ和関係式を確立すること。
• 積分表現およびメリン変換に基づく恒等式を導出し、有理数引数におけるStieltjes定数の和に対する正確な関係式を導出すること。
• 既知の相反および和関係式を、パラメータ p, q, b, N を含む一般化形に拡張すること。
• 導出された推論から、ポリガンマ関数やベルヌーイ多項式などの既知の特殊関数との関連を確立すること。
• 積分評価におけるHurwitzゼータ関数に関連するAₖ(q)関数の和を評価するための体系的枠組みを提供すること。

提案手法

• Lemma 1 を用いて、有理数引数におけるHurwitzゼータ関数の和を、パラメータ交換 (p, q, b) を通じた変換された和に結びつける。
• 解析接続を適用し、Re(s) > 1 で有効な恒等式を複素平面全体に拡張する。
• 有理生成関数に関連するゼータ関数のメリン変換表現を用いて、関数的恒等式を導出する。
• ゼータ関数の恒等式を s で微分し、s = 1 − k で評価することで、Aₖ(q) および Bₖ に関する関係式を導出する。
• f(T) = p(T)/∏(1 − Tⁿⁱ) という有理関数を用いたゼータ関数 Z_f(s) を積分および級数で表現し、和恒等式を導出する。
• 既知のベルヌーイ数およびポリガンマ関数に関する結果を応用し、主定理から推論を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Hurwitzゼータ関数の関数的恒等式から、Stieltjes定数 γₖ(a) の多パラメータ和恒等式を体系的に導出する方法は何か？
• RQ2 有理数引数における γₖ(a) の和を対数関数およびポリガンマ関数に関連付ける正確な関係式は何か？
• RQ3 有理生成関数に関連するゼータ関数のメリン変換表現が、新たな和恒等式をどのように導くか？
• RQ4 ベルヌーイ多項式およびポリガンマ関数の相反型関係式は、これらの恒等式の系として導出可能か？
• RQ5 これらの恒等式は、積分評価における関数 Aₖ(q) = k ∂/∂z ζ(z,q)|_{z=1−k} にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 命題1は多パラメータ和恒等式を確立する：∑_{r=1}^q γₖ(pr/q − b) = q(−1)^k ln^{k+1}(q/p)/(k+1) + (q/p)∑_{ℓ=0}^{p−1}∑_{j=0}^k (−1)^j (k choose j) ln^j(q/p) γ_{k−j}[1 + (ℓ−b)q/p]。
• 命題2は γₘ および対数項を含む関係式を与える：(p−1)γₘ + ln^{m+1}p/(m+1) − ∑_{k=0}^{m−1} (m choose k) ln^{m−k}p γₖ = (1−p)ln^{m+1}p^{N+1}/(m+1) + p^{−N} ∑_{k=0}^m (m choose k) ln^{m−k}p^{N+1} ∑_{(j,p)=1} γₖ(j/p^{N+1})。
• 系1はディガマ関数の相反恒等式を提供する：ln q + (1/q)∑_{r=0}^{q−1} ψ(pr/q − b) = ln p + (1/p)∑_{ℓ=0}^{p−1} ψ[(ℓ−b)q/p]。
• 系2はポリガンマ関数の対称性を示す：(1/q)∑_{r=0}^{q−1} ψ^{(n−1)}(pr/q − b) = (1/p)(q/p)^{n−1} ∑_{ℓ=0}^{p−1} ψ^{(n−1)}[(ℓ−b)q/p]。
• 系3はベルヌーイ多項式の和恒等式を確立する：∑_{r=1}^q B_m(pr/q − b) = (q/p)^{1−m} ∑_{ℓ=0}^{p−1} B_m[1 + (ℓ−b)q/p]。
• 命題5は Aₖ(q) に関する関係式を導く：(1−p^{k−1})Aₖ(1) − (−1)^k (ln p) Bₖ[N(1−p^{k−1})+1] = p^{(N+1)(k−1)} ∑_{(j,p)=1} Aₖ(j/p^{N+1})。