[論文レビュー] Parameterized Uniform Complexity in Numerics: from Smooth to Analytic, from NP-hard to Polytime

Akitoshi Kawamura, Norbert Müller+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 2012

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 2被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、数値的演算子（最大化、積分、ODEの解法）のパラメータ化された一様計算複雑性枠組みを確立し、関数が滑らかから解析的へ移行するに従い、計算の難易度がNP困難から多項式時間へ移行することを示している。これはゲヴレの階層を通じて実現される。解析的関数は一様に多項式時間計算可能性を保ち、滑らかな関数はこれらの演算子をNP困難にすることがある。これは、Type-2およびType-3計算モデルにおける2次複雑性理論に基づく。

ABSTRACT

The synthesis of classical Computational Complexity Theory with Recursive Analysis provides a quantitative foundation to reliable numerics. Here the operators of maximization, integration, and solving ordinary differential equations are known to map (even high-order differentiable) polynomial-time computable functions to instances which are `hard' for classical complexity classes NP, #P, and CH; but, restricted to analytic functions, map polynomial-time computable ones to polynomial-time computable ones -- non-uniformly! We investigate the uniform parameterized complexity of the above operators in the setting of Weihrauch's TTE and its second-order extension due to Kawamura&Cook (2010). That is, we explore which (both continuous and discrete, first and second order) information and parameters on some given f is sufficient to obtain similar data on Max(f) and int(f); and within what running time, in terms of these parameters and the guaranteed output precision 2^(-n). It turns out that Gevrey's hierarchy of functions climbing from analytic to smooth corresponds to the computational complexity of maximization growing from polytime to NP-hard. Proof techniques involve mainly the Theory of (discrete) Computation, Hard Analysis, and Information-Based Complexity.

研究の動機と目的

• 古典的計算複雑性と再帰的解析を結ぶために、数値的演算子の一様パラメータ化された複雑性枠組みを確立すること。
• 滑らかから解析的へ関数の正則性が変化するに従い、最大化、積分、ODEの解法の計算複雑性がどのように変化するかを調査すること。
• これらの演算子を多項式時間で計算可能にするために必要なパラメータおよび情報タイプ（連続的、離散的、1次または2次）を同定すること。
• 特にゲヴレ関数や解析的関数などの関数クラスに関連して、NP困難性と多項式時間計算可能性の境界を明確にすること。
• 2次Type-2およびType-3計算モデルを用いた形式的で一様な複雑性解析を提供し、従来の非一様結果を拡張すること。

提案手法

• WeihrauchのType-2効果的理論（TTE）およびKawamuraとCook（2010）による2次拡張を用いて、実関数上の一様計算を形式化する。
• 閉単位円板上、[0,1]上、および整関数としての解析的関数を、一様複雑性解析を可能にする計算可能表現を用いて表現する。
• 2次複雑性理論を適用し、入力の精度 $2^{-n}$ および関数ノルムや収束半径などのパラメータに基づく時間およびサイズの上限を分析する。
• 関数を解析的から滑らかへ分類するゲヴレの階層を用い、この階層を計算複雑性のレベルへ対応付ける。
• 硬い解析および情報ベースの複雑性理論の技術を用いて、2次計算におけるオракルクエリ数および機械の合成に関する上限を証明する。
• 2次機械の合成を分析し、$G \circ F$ のような演算子の複雑性上限を導出し、複雑性が2次多項式への次数合成規則を用いて合成に関して閉じていることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ゲヴレ階層（解析的から滑らかへ）において、関数の最大化および積分の均一パラメータ化された複雑性は何か？
• RQ2 関数が解析的から滑らかへ移行するに従い、最大化や積分などの数値的演算子の計算難易度はどのように変化するか？
• RQ3 関数ノルム、収束半径、微分係数の上限などのどのパラメータが、これらの演算子の多項式時間計算可能性を保証するために十分か？
• RQ4 解析的関数上の演算子の一様複雑性は2次時間およびサイズで有界にできるか？非一様結果と比べてどう異なるか？
• RQ5 滑らかな関数のための多項式時間計算可能な表現は存在するか？存在しない場合、その理由は何か？

主な発見

• 滑らかな関数の最大化および積分は、入力関数が多項式時間計算可能であっても、一様パラメータ化された複雑性設定下ではNP困難である。
• それに対して、解析的関数では、適切な表現（例：べき級数）が用いられれば、同じ演算子は一様パラメータ化された複雑性下でも多項式時間計算可能である。
• 関数のゲヴレ階層（解析的から滑らかへ）は、計算複雑性の階層に正確に対応しており、最大化に関しては多項式時間からNP困難へと複雑性が増加する。
• 解析的関数の2次表現（例：べき級数や整関数の符号化）は、maxや積分のような基本的演算子の多項式時間計算可能性を支持する。
• 2次機械の合成は複雑性上限を保ち、時間およびサイズの上限は2次多項式への次数合成規則を用いて表現できる。
• 人工的な2次表現 $ ilde{ ho}$ が構成され、$C^ty$ 関数に対してmaxおよび積分を多項式時間で計算可能にするが、一様に解析的上界 $A \times K^j \times j!$ を抽出することはできない。