[論文レビュー] Parameterizing interaction of disparate scales: Selective decay by Casimir dissipation in fluids

François Gay–Balmaz, Darryl D. Holm|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 2012

Fluid Dynamics and Turbulent Flows参考文献 25被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、リー＝ポアソン構造とスケール選択作用素を用いて、エネルギーを保存しつつエンストロフィーの選択的崩壊（Casimir散乱）を強制することで、流体力学におけるマルチスケール相互作用をパrameter化する新しいメカニズムを提案する。得られる修正された流体方程式は、大規模な流れと小規模な乱流の相互作用を効果的にモデル化でき、地球物理的流れにおける現実の粘性の代わりに計算的に効率的な代替手段を提供する。

ABSTRACT

The problem of parameterizing the interactions of disparate scales in fluid flows is addressed by considering a property of two-dimensional incompressible turbulence. The property we consider is selective decay, in which a Casimir of the ideal formulation (enstrophy in 2D flows) decays in time, while the energy stays essentially constant. This paper introduces a mechanism that produces selective decay by enforcing Casimir dissipation in fluid dynamics. This mechanism turns out to be related in certain cases to the numerical method of anticipated vorticity discussed in \cite{SaBa1981,SaBa1985}. Several examples are given and a general theory of selective decay is developed that uses the Lie-Poisson structure of the ideal theory. A scale-selection operator allows the resulting modifications of the fluid motion equations to be interpreted in several examples as parameterizing the nonlinear, dynamical interactions between disparate scales. The type of modified fluid equation systems derived here may be useful in turbulent geophysical flows where it is computationally prohibitive to rely on the slower, indirect effects of a realistic viscosity, such as in large-scale, coherent, oceanic flows interacting with much smaller eddies.

研究の動機と目的

• 非線形的で動的なスケール間相互作用を、特に大規模な地球物理的系において、すべてのスケールを解像しない条件下で効果的にパrameter化する課題に対処すること。
• エネルギーが概ね一定に保たれる一方でエングストロフィーが崩壊するという選択的崩壊を実現するメカニズムを、Casimir散乱を導入することで開発すること。
• 予想される渇き（anticipated vorticity）のような既存の数値手法と接続することで、物理的一致性と計算効率を向上させること。
• 理想流体力学のリー＝ポアソン構造に基づく一般理論枠組みを定式化し、修正された流体方程式を導出すること。
• すべてのスケールを解像することが計算的に不可能な海洋・大気の流れの実用的モデリングを可能にするために、小スケール効果を選択的崩壊メカニズムで捉えること。

提案手法

• 理想2次元非圧縮流体力学のリー＝ポアソン構造を用いて、系のハミルトニアン形式を導出する。
• 小スケールの渇きの動的特性を分離・修正しつつ、大スケールエネルギーを保存するスケール選択作用素を導入する。
• エネルギーが概ね保存される一方で、エングストロフィー（Casimir不変量）が時間とともに崩壊するように、Casimir散乱を明示的に実装する。
• この選択的崩壊を組み込んだ修正された流体運動方程式を導出し、未解像の小スケール乱流が大スケール流れに与える影響を効果的にパrameter化する。
• 得られた方程式が予想される渇きという数値手法とどのように関連しているかを示し、既存の計算的手法と整合性があることを示す。
• 複数の例にこの枠組みを適用し、物理的に意味のある大規模な流れ構造を再現するとともに、物理的に不自然な小スケールノイズを抑制できることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 流体の異なるスケール間の非線形的相互作用を、すべてのスケールを解像しない条件下で、どのように効果的にパrameter化できるか？
• RQ2 2次元非圧縮乱流において、エネルギーを保存しつつエングストロフィーを崩壊させるメカニズムは何か？
• RQ3 特にエングストロフィーの崩壊を通じて、Casimir散乱が流体方程式にどのように物理的に意味のある修正をもたらすか？
• RQ4 提案されたメカニズムは、予想される渇きという数値手法とどのように関連しているか？
• RQ5 得られた修正された流体方程式は、大規模なコherent構造を再現しつつ、計算的にも効率的であると言えるか？

主な発見

• 提案されたメカニズムは、エネルギーが概ね一定に保たれる一方でエングストロフィーが崩壊する選択的崩壊を成功裏に実現しており、2次元乱流における観察結果と整合的である。
• スケール選択作用素の使用により、修正された流体方程式が未解像の小スケール渦が大スケール流れのダイナミクスに与える影響を効果的にパrameter化できている。
• 導出された流体方程式は、理想流体力学のリー＝ポアソン構造と数学的に整合しており、重要な幾何学的および物理的性質を保持している。
• この手法は予想される渇きという数値技術と関連づけられており、シミュレーションにおけるその利用に理論的根拠を与える。
• この枠組みは、大規模な海洋・大気の流れと小スケール乱流の相互作用をモデリングする際、現実の粘性の代わりに計算的に効率的な代替手段を提供する。
• この手法により、小スケールダイナミクスが完全に解像されていなくても、エングストロフィーの選択的減衰によって大規模なコherent構造がシミュレーションで出現することが可能になる。