[論文レビュー] Parameters of two classes of LCD BCH codes

Shuxing Li, Chengju Li+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 2016

Coding theory and cryptography参考文献 25被引用数 18

ひとこと要約

本稿では、有限体上の2つのLCD（線形補完双対性を有する）BCH符号の族について、次元と最小距離に焦点を当て、q-巡回的コセットとBCH境界を用いて、特定のパrameter範囲における正確な次元と最小距離を導出する。これにより、既存の文献における既知の境界と一致またはそれを上回る最適な符号が得られる。

ABSTRACT

Historically, LCD cyclic codes were referred to as reversible cyclic codes, which had application in data storage. Due to a newly discovered application in cryptography, there has been renewed interest on LCD codes. In this paper, we explore two special families of LCD cyclic codes, which are both BCH codes. The dimensions and the minimum distances of these LCD BCH codes are investigated. As a byproduct, the parameters of some primitive BCH codes are also obtained.

研究の動機と目的

• n = q^m - 1 における q-巡回的コセットのコセットリーダーおよびサイズを、1 ≤ j ≤ (q-1)q^{m-1} の範囲で特徴付けること。
• 特定の設計距離を有する2つのLCD BCH符号族の次元を決定すること、特に δ = uq^{m-1} + 1（q が奇数のとき）または δ = uq^{m-1}/2 + 1（q が偶数のとき）の場合を含む。
• さまざまなパrameter制約、特に小さな δ および特定の m と q の値を含む、C(q,n,2δ,n−δ+1) 形式のLCD BCH符号の正確な次元と最小距離を確立すること。
• δ = q^λ かつ m/2 ≤ λ ≤ m−1 の場合の次元に対する下界および上界を導出し、BCH境界およびコセットリーダー解析を用いて最小距離を特定すること。
• 構築されたLCD BCH符号が、既存のデータベースにおける最良の線形符号と一致またはそれを上回るパラメータを達成する場合を同定すること。

提案手法

• 著者らは、n = q^m - 1 における q-巡回的コセットを分析し、符号の次元を計算するために不可欠なコセットリーダーおよびサイズを特定する。
• BCH境界を用いて、LCD BCH符号の最小距離に対する下界を導出する。
• 特定のパrameter範囲、例えば q が奇数のとき δ = uq^{m-1} + 1 または q が偶数のとき δ = uq^{m-1}/2 + 1 の場合、根の数え上げと巡回的コセット構造を用いて次元を直接計算する。
• 条件（例：3|n または 4|n）が満たされる場合、Corollary 37 を適用して、最小距離がBCH境界と一致する場合に正確な最小距離を決定する。
• 理論的結果は、既知の最良線形符号の表（例：Grasslのデータベースや[13]）を用いて検証され、構築された符号の最適性を確認する。
• LCD符号と可逆な巡回符号の同値性を活用し、生成多項式の自己双対性を用いてLCD構造を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1 ≤ j ≤ (q-1)q^{m-1} の範囲における、n = q^m - 1 における q-巡回的コセットのコセットリーダーおよびサイズは何か？
• RQ2 q が奇数のとき δ = uq^{m-1} + 1 または q が偶数のとき δ = uq^{m-1}/2 + 1 である場合、LCD BCH符号 C(q,n,2δ,n−δ+1) の正確な次元は何か？（1 ≤ u ≤ q−1）
• RQ3 どの δ およびパラメータ q, m に対して、符号 C(q,n,2δ,n−δ+1) が最小距離を正確に 2δ に達するか？
• RQ4 δ = q^λ かつ m/2 ≤ λ ≤ m−1 の場合、LCD BCH符号の次元と最小距離を特定できるか？また、どのような境界を確立できるか？
• RQ5 どのような条件下で、構築されたLCD BCH符号が、既存のデータベースにおける最良の線形符号のパラメータと一致または上回るか？

主な発見

• q が奇数で m ≥ 2 のとき、符号 C(q,n,4,n−1) はパラメータ [q^m−1, q^m−2−2m, 4] を有し、正確な次元と最小距離を有する。
• q=2 で m≥4 のとき、符号 C(2,n,6,n−2) はパラメータ [2^m−1, 2^m−2−2m, 6] を有し、設計距離に達する。
• q^m ≡ 1 (mod 3) で m≥4 のとき、符号 C(q,n,6,n−2) はパラメータ [q^m−1, q^m−2−4m, 6] を有し、次元は q と m に依存する。
• q=3 で m≥3 のとき、符号 C(3,n,8,n−3) は次元 q^m−2−4m を有し、m が偶数のとき最小距離 d=8、m が奇数のとき d≥8 である。
• q=3、m=3、δ=4 のとき、符号 C(3,26,8,23) はパラメータ [26,13,8] を有し、同様の長さと次元を持つ最良の三進線形符号と一致する。
• 本稿は、いくつかの構築された符号が最適であることを確認しており、Grasslのデータベースおよび[13]に記載された最良のパラメータと一致またはそれを上回っている。