[論文レビュー] Parametric estimation of Lévy processes

H. Masuda|arXiv (Cornell University)|Sep 1, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 47被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、高頻度サンプリングを用いた無限活動性の純ジャンプ成分を有するLévy過程のパrametric推定のための理論的枠組みを提示する。複数の収束速度において明示的な推定関数の漸近正規性を確立し、統計的確率場の均一な尾確率バウンドを提供する。また、安定および局所安定Lévy過程に対するモーメント法による推定の詳細な分析も行う。

ABSTRACT

The main purpose of this chapter is to present some theoretical aspects of parametric estimation of Lévy processes based on high-frequency sampling, with a focus on infinite activity pure-jump models. Asymptotics for several classes of explicit estimating functions are discussed. In addition to the asymptotic normality at several rates of convergence, a uniform tail-probability estimate for statistical random fields is given. As specific cases, we discuss method of moments for the stable Lévy processes in much greater detail, with briefly mentioning locally stable Lévy processes too. Also discussed is, due to its theoretical importance, a brief review of how the classical likelihood approach works or does not, beyond the fact that the likelihood function is not explicit.

研究の動機と目的

• 無限活動性の純ジャンプ成分を有するLévy過程のパrametric推定の理論的裏付けをもつアプローチの開発。
• 高頻度サンプリングスキーム下での明示的推定関数の漸近的挙動の分析。
• 推定に生じる統計的確率場の均一な尾確率推定の提供。
• モーメント法による推定を用いた安定および局所安定Lévy過程に関する詳細な事例研究。
• 尤度関数が扱いにくい状況における尤度に基づく推論の限界と実現可能性の明確化。

提案手法

• 時間区間 $T_n \to \infty$ におけるLévy過程のパスの高頻度離散サンプリングを用いる。
• 増分 $\Delta^n_j Y = Y_{t^n_j} - Y_{t^n_{j-1}}$ の経験モーメントに基づく明示的推定関数を採用する。
• 増分分布の特性関数およびモーメント母関数に関する条件の下で、$\sqrt{T_n}$ 速度での漸近正規性を導出する。
• 推定における確率的フラクチュエーションを制御するため、統計的確率場に対する均一な尾確率バウンドを適用する。
• 推定関数の一致性を保証するため、$h_n^{-1} \mathbb{E}_0[\varphi(X_{h_n})]$ の極限への収束速度の分析を行う。
• Lévy測度が解析的に扱えるが、遷移密度が扱いにくいような特別なケース（例：安定Lévy過程）を検討する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高頻度サンプリング下での無限活動性Lévy過程の推定関数の漸近的性質は何か？
• RQ2 遷移密度が扱いにくい場合、安定Lévy過程におけるモーメント法推定器はどのように振る舞うか？
• RQ3 高頻度サンプリングされたLévy過程の推定器が $\sqrt{T_n}$ 速度で漸近正規となるための条件は何か？
• RQ4 尤度に基づかないLévy過程の推定において、統計的確率場の均一な尾確率バウンドをどのように導出できるか？
• RQ5 多くのLévy過程では古典的尤度推論がなぜ不適切となるのか、そして代替手法は何か？

主な発見

• 適切な正則性およびモーメント条件の下で、推定関数の $\sqrt{T_n}$ 速度での漸近正規性が確立された。
• 安定Lévy過程では、遷移密度が扱いにくいにもかかわらず、モーメント法推定器が漸近正規性を達成する。
• 統計的確率場に対する均一な尾確率バウンドが導出され、推定誤差の非漸近的制御が可能になった。
• 関数 $\varphi$ に対する滑らかさおよび消失条件の下で、$h_n^{-1} \mathbb{E}_0[\varphi(X_{h_n})]$ の極限への収束速度が $O(h_n)$ であることが示された。
• 尤度関数が明示的に得られないため、尤度に基づく推論は一般的に不適切である。これは、$\mathcal{L}(X_1)$ に閉形式の密度が存在する場合でさえも同様である。
• 拡散成分とジャンプ成分の共存は推定を複雑にする。成分分離のためにはしきい値ベースの手法が必要だが、最適なしきい値選択は有限標本下での課題のままである。