[論文レビュー] Parametric inference and forecasting in continuously invertible volatility models

Olivier Wintenberger, Sixiang Cai|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2011

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 30被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、確率的再帰方程式（SREs）に対する連続的可逆性の新しい枠組みを用いて、連続的可逆なボラティリティモデルにおけるM推定量の強一貫性および漸近正規性を確立する。EGARCH(1,1)モデルに実務的に用いられている準尤度推定手順に対する、初めての厳密な理論的裏付けを提供し、最小限のモーメント仮定のもとで漸近正規性の必要十分条件を導出する。

ABSTRACT

We introduce the notion of continuously invertible volatility models that relies on some Lyapunov condition and some regularity condition. We show that it is almost equivalent to the ability of the volatilities forecasting using the parametric inference approach based on the SRE given in [16]. Under very weak assumptions, we prove the strong consistency and the asymptotic normality of the parametric inference. Based on this parametric estimation, a natural strongly consistent forecast of the volatility is given. We apply successfully this approach to recover known results on univariate and multivariate GARCH type models and to the EGARCH(1,1) model. We prove the strong consistency of the forecasting as soon as the model is invertible and the asymptotic normality of the parametric inference as soon as the limiting variance exists. Finally, we give some encouraging empirical results of our approach on simulations and real data.

研究の動機と目的

• 非線形ボラティリティモデル、特にEGARCH(1,1)において、1991年以降実務的に用いられてきた準尤度推定手順の理論的裏付けの欠如に応えること。
• 確率的再帰方程式（SREs）によって駆動されるボラティリティモデルにおける、コンパクト集合上での連続的可逆性の概念を導入し、形式化すること。
• 新しい連続的可逆性条件の下で、M推定量の強一貫性および漸近正規性を証明すること。
• GARCH型モデルに対する既知の結果を回復し、EGARCHのような非線形的・非対称的モデルへと拡張すること。
• EGARCH(1,1)モデルにおける制限的分散-共分散行列の存在の必要十分条件を提供すること。

提案手法

• SREによって駆動されるボラティリティモデルにおける、コンパクトなパrameter集合上での連続的可逆性の概念を導入する。
• 一貫性および漸近正規性を保証するため、準尤度（QLIK）基準を用いたM推定量フレームワークを適用する。
• 観測データ $X_t$ によって駆動されるSREの収束を、新たなSRE定式化 $ (h(Σ_k))_{k\leq t} = \phi_t((h(Σ_k))_{k\leq t-1}, \theta_0) $ を用いて確立する。これは、ノイズ駆動SREの代わりとなる。
• リャプノフ型の条件と対数モーメント仮定を用いて、新しい枠組み下でのSREの安定性および可逆性を保証する。
• 関数的中心極限定理を適用し、スコア関数の微分可能性およびモーメント条件に依拠して漸近正規性を導出する。
• EGARCH(1,1)における制限的分散-共分散行列の明示的条件を導出し、$\mathbb{E}[Z_0^4] < \infty$ および $\mathbb{E}[(\beta_0 - \frac{1}{2}(\gamma_0 Z_0 + \delta_0 |Z_0|))^2] < 1$ が存在の必要十分条件であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続的可逆なボラティリティモデルにおける準尤度のM推定量が、どのような条件下で強一貫性および漸近正規性を示すか？
• RQ2 EGARCH(1,1)モデルにおける制限的分散-共分散行列の存在の必要十分条件は何か？
• RQ3 実務的にEGARCH(1,1)に用いられている準尤度推定手順は、どのように理論的に裏付けられるか？
• RQ4 連続的可逆性の枠組みは、GARCH型モデルに対する既知の結果を回復するために適用可能か？
• RQ5 非線形ボラティリティモデルにおける推定量の漸近正規性を保証するための最小限のモーメントおよび微分可能性条件は何か？

主な発見

• 連続的可逆性条件の下で、準尤度基準に基づくM推定量は強一貫性および漸近正規性を有する。
• EGARCH(1,1)において、制限的分散-共分散行列が存在するための必要十分条件は $\mathbb{E}[Z_0^4] < \infty$ および $\mathbb{E}[(\beta_0 - \frac{1}{2}(\gamma_0 Z_0 + \delta_0 |Z_0|))^2] < 1$ である。
• 本稿は、Nelson (1991) がEGARCH(1,1)に実務的に用いた推定手順に対して、初めての厳密な理論的裏付けを提供する。この手順は、本研究以前は理論的支援が欠けていた。
• この枠組みにより、一変量および多変量GARCHモデルに対する既知の結果が回復され、M推定量が古典的QMLEと一致することが示される。
• 強一貫性は、条件 $\mathbb{E}[\log \Lambda(\phi_t(\cdot, \theta))] < 0$ および対数モーメントの可積分性の下で成立する。
• 漸近正規性は、SREの微分可能性およびモーメント条件を満たす場合に成立し、パrameter space $\Theta$ の内部に $\theta_0$ が存在する場合には、制限的分散-共分散行列が正則である。