[論文レビュー] Parametric inference for hypoelliptic ergodic diffusions with full observations

Anna Melnykova|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 39被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、局所線形化スキームに基づく離散化ログ尤度を用いて、完全な離散観測のもとで2次元の超楕円型拡散過程に対する一貫的で漸近正規なパrametric推定量を提案する。この手法は、尤度成分の適切なスケーリングにより拡散係数の退化を克服し、正則性条件下で一貫性と漸近正規性を示す。数値的にフィッツフーリュ・ナグumoニューロンモデルで検証された。

ABSTRACT

Multidimensional hypoelliptic diffusions arise naturally in different fields, for example to model neuronal activity. Estimation in those models is complex because of the degenerate structure of the diffusion coefficient. In this paper we consider hypoelliptic diffusions, given as a solution of two-dimensional stochastic differential equations (SDEs), with the discrete time observations of both coordinates being available on an interval $T = n\\Delta_n$, with $\\Delta_n$ the time step between the observations. The estimation is studied in the asymptotic setting, with $T\ o\\infty$ as $\\Delta_n\ o 0$. We build a consistent estimator of the drift and variance parameters with the help of a discretized log-likelihood of the continuous process. We discuss the difficulties generated by the hypoellipticity and provide a proof of the consistency and the asymptotic normality of the estimator. We test our approach numerically on the hypoelliptic FitzHugh-Nagumo model, which describes the firing mechanism of a neuron.

研究の動機と目的

• 拡散行列が退化・特異である超楕円型拡散モデルにおけるパrametric推定の課題に対処すること。
• 2次元SDEの両座標が離散時刻に観測される状況において、ドリフトおよび分散パramータの一致推定量と漸近正規推定量を構築すること。
• 超楕円型系における遷移密度の共分散行列の非可逆性を、特化した離散化スキームによって克服すること。
• 漸近的状態 $T = n\Delta_n \to \infty$, $\Delta_n \to 0$ の下で推定量の一貫性と漸近正規性を確立すること。
• 超楕円型のフィッツフーリュ・ナグumoモデルを用いて、手法の数値的妥当性を検証すること。

提案手法

• 連続的な超楕円型SDEの遷移密度を近似するために局所線形化スキームを用い、実行可能な尤度計算を可能にする。
• 連続過程の離散化ログ尤度関数に基づくコントラスト推定量を構築し、ドリフト成分と拡散成分に対して別々のスケーリングを施す。
• 2段階推定手順を適用：まずスケーリングされた尤度を用いてドリフトパラメータ $\theta^{(1)}$ を推定し、その後別個の尤度成分を用いて $\theta^{(2)}$ と $\sigma$ を推定する。
• コントラスト関数を真のパラメータの周囲でテイラー展開し、漸近正規性を導出する。$\hat{\theta}^{(1)}$ と $\hat{\theta}^{(2)}$ に対してそれぞれ異なるスケーリングを適用する。
• 主要な2次形式およびスコア関数の確率的収束を示すための補題を用い、一貫性および漸近正規性を保証する。
• マルティングール中心極限定理の枠組みを用いて推定量の漸近分布を導出し、分散成分の異なるオーダーを考慮する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全な離散観測のもとで、2次元の超楕円型拡散過程におけるドリフトおよび拡散パラメータの一致的で漸近正規な推定量を構築できるか？
• RQ2 超楕円型SDEのパラメトリック推定において、遷移密度共分散行列の非可逆性はどのように扱えるか？
• RQ3 拡散係数が退化している場合に、一貫性と漸近正規性を保証するための尤度成分の適切なスケーリングは何か？
• RQ4 局所線形化に基づく離散化ログ尤度推定量は、特にニューロンモデルにおいて、超楕円型設定で有効な推定をもたらすか？
• RQ5 $T \to \infty$, $\Delta_n \to 0$ の共同漸近的状態下で、推定量の理論的性質を厳密に証明できるか？

主な発見

• ドリフトパラメータ $\theta^{(1)}$ の推定量は一貫的であり、$n \to \infty$ の下で $\hat{\theta}^{(1)}_{n,\Delta_n} \to \theta^{(1)}_0$ が確率的に収束する。
• ドリフトパラメータ $\theta^{(2)}$ の推定量に対しても同様に一貫的であり、同じ漸近的状態下で $\hat{\theta}^{(2)}_{n,\Delta_n} \to \theta^{(2)}_0$ が確率的に収束する。
• 推定量の漸近分布は多変量正規分布であり、$\sqrt{n/\Delta_n}(\hat{\theta}^{(1)} - \theta^{(1)}_0)$ および $\sqrt{n\Delta_n}(\hat{\theta}^{(2)} - \theta^{(2)}_0)$ が正規極限に収束する。
• 漸近分散-共分散行列は対角行列であり、ドリフト関数の積分された二乗勾配と拡散係数に依存する。
• $\theta^{(1)}$ の漸近分散は、$\int b^2(z;\sigma_0)(\partial_y a_1(z;\theta^{(1)}_0))^2 (\partial_{\theta^{(1)}} a_1(z;\theta^{(1)}_0))^2 \nu_0(dz)$ に比例する。
• $\theta^{(2)}$ の漸近分散は、$\int b^2(z;\sigma_0)(\partial_{\theta^{(2)}} a_2(z;\theta^{(2)}_0))^2 \nu_0(dz)$ に比例する。