[論文レビュー] Parametric inference for stochastic differential equations: a smooth and match approach

Shota Gugushvili, Peter Spreij|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2011

Statistical Methods and Inference参考文献 15被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、離散的に観測されたエルゴディックな拡散過程におけるパrametric推論のための新しいスムーズ・アンド・マッチ推定量を提案する。まず、カーネルスムージングを用いて非パラメトリックに不変密度を推定し、次に、Fokker-Planck方程式から導かれる理論的不変密度と照合することで、漂移および拡散パラメータを推定する。この方法は、正則性条件下で√n-一致性および漸近正規性を達成し、1ステップの修正によって漸近的効率性が向上する。

ABSTRACT

We study the problem of parameter estimation for a univariate discretely observed ergodic diffusion process given as a solution to a stochastic differential equation. The estimation procedure we propose consists of two steps. In the first step, which is referred to as a smoothing step, we smooth the data and construct a nonparametric estimator of the invariant density of the process. In the second step, which is referred to as a matching step, we exploit a characterisation of the invariant density as a solution of a certain ordinary differential equation, replace the invariant density in this equation by its nonparametric estimator from the smoothing step in order to arrive at an intuitively appealing criterion function, and next define our estimator of the parameter of interest as a minimiser of this criterion function. Our main results show that under suitable conditions our estimator is $\sqrt{n}$-consistent, and even asymptotically normal. We also discuss a way of improving its asymptotic performance through a one-step Newton-Raphson type procedure and present results of a small scale simulation study.

研究の動機と目的

• 離散的に観測されたエルゴディックな拡散過程におけるパラメトリック推論のための、計算的に効率的で理論的に妥当な手法の開発。
• 遷移密度が解析的に求められない、または計算コストが高いため、尤度に基づく推論が困難な状況への対処。
• 近似最尤法の数値的複雑性を回避しつつ、強力な漸近的性質を維持する推定量の構築。
• 提案されたスムーズ・アンド・マッチ推定量の理論的保証の確立、特に√n-一致性および漸近正規性の確立。
• 1ステップのニュートン・ラプソン補正手順を用いた漸近的効率性の向上。

提案手法

• 本手法は2段階から成る：まず、カーネル密度推定を用いて、離散観測から不変密度を非パラメトリックに推定するスムージング段階。
• マッチング段階では、Fokker-Planck方程式から導かれる2階常微分方程式の解として理論的不変密度が特徴づけられる。
• 非パラメトリックな密度推定値が、ODEにおける真の不変密度の代わりに用いられ、パrameter空間上で最小化される基準関数が形成される。
• パrameter推定量は、この基準関数の最小化者として定義され、スムーズ・アンド・マッチの原則に基づくM推定量となる。
• 真のパラメータの周囲における基準関数のテイラー展開を用いて、密度推定量の弱収束に依存して漸近正規性が確立される。
• 初期推定量の漸近的分散を低減するために、1ステップのニュートン・ラプソン補正が適用され、効率性が向上する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非パラメトリックなスムージングステップとパラメトリックなマッチングステップを効果的に組み合わせることで、SDEパラメータのための一貫性があり、効率的な推定量を構築できるか？
• RQ2 正則性条件下で、得られたスムーズ・アンド・マッチ推定量が√n-一致性および漸近正規性を達成するか？
• RQ3 計算的妥当性と統計的効率性の観点から、スムーズ・アンド・マッチ推定量は尤度ベース推定量やZ推定量と比較してどのように性能を発揮するか？
• RQ4 1ステップの補正手順が、初期のスムーズ・アンド・マッチ推定量の漸近的分散を顕著に低減できるか？
• RQ5 推定量の理論的性質を保証するための、漂移係数および拡散係数に必要な十分な正則性条件は何か？

主な発見

• 提案されたスムーズ・アンド・マッチ推定量は、正則性条件下で√n-一貫性を有し、標準的なパラメトリックレートでの収束を保証する。
• 推定量は漸近正規性を有し、その漸近的分散はフィッシャー情報量および基準関数の曲率を用いて明示的に特徴づけられる。
• 初期推定量の漸近的分散は、1ステップのニュートン・ラプソン補正により低減され、効率性が向上する。
• 非パラメトリック密度推定量が真の不変密度に収束する十分条件が、基準関数および推定量の一貫性を保証する。
• 理論的分析は、推定密度およびその導関数の一様収束に依存し、弱収束の議論とコーシー・シュワルツの不等式を確率論的に用いることで裏付けられる。
• 本手法は、遷移密度の明示的評価を回避するため、尤度計算が困難なモデル（例：CIR過程）にも適用可能である。