[論文レビュー] Parametric measures of variability induced by risk measures

Fabio Bellini, Tolulope Fadina+2 more|Open Access at Essex (University of Essex)|Dec 9, 2020

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 30被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、リスク測度から導かれるパラメトリックなばらつき尺度—具体的には、相互Expected Shortfall差、相互expectile差、相互分位数差—を統一的な枠組みで扱うものであり、対称的かつ同モノトニックなばらつき尺度が、相互Expected Shortfall差の混合として表現可能であることを証明している。また、経験的推定量の漸近的正規性と一貫性を確立し、S&P 500のデータを用いて経済的状態ごとの比較的行動を示している。

ABSTRACT

We present a general framework for a comparative theory of variability measures, with a particular focus on the recently introduced one-parameter families of inter-Expected Shortfall differences and inter-expectile differences, that are explored in detail and compared with the widely known and applied inter-quantile differences. From the mathematical point of view, our main result is a characterization of symmetric and comonotonic variability measures as mixtures of inter-Expected Shortfall differences, under a few additional technical conditions. Further, we study the stochastic orders induced by the pointwise comparison of inter-Expected Shortfall and inter-expectile differences, and discuss their relationship with the dilation order. From the statistical point of view, we establish asymptotic consistency and normality of the natural estimators and provide a rule of the thumb for cross-comparisons. Finally, we study the empirical behaviour of the considered classes of variability measures on the S&P 500 Index under various economic regimes, and explore the comparability of different time series according to the introduced stochastic orders.

研究の動機と目的

• パラメトリックリスク測度によって誘導されるばらつき尺度の一般的な比較理論を構築すること。特に、Expected Shortfall、expectile、Value-at-Riskに焦点を当てる。
• 技術的条件下で、対称的かつ同モノトニックなばらつき尺度が、相互Expected Shortfall差の混合として表現可能であることを特徴づけること。
• 相互Expected Shortfall差と相互expectile差の点ごとの比較に基づく確率的順序を研究し、それらを拡散順序（dilation order）に関連づけること。
• 3つのばらつき尺度の経験的推定量の漸近的正規性と一貫性を確立すること。
• S&P 500インデックスの経験的データを用いて、これらの尺度が異なる経済的状態下でどのように振る舞うかを比較すること。

提案手法

• リスク測度によって誘導されるばらつき尺度の一般的な定義を提示し、分位数差における凸性の欠如ゆえに、分散尺度とは区別すること。
• 数学的特徴づけを用いて、正則性条件下で、対称的かつ同モノトニックなばらつき尺度が、相互Expected Shortfall差の混合として表現可能であることを示す。
• 確率的順序理論を応用し、点ごとの比較によって相互Expected Shortfall差と相互expectile差を比較し、それらを拡散順序に関連づける。
• 漸近分布理論を用いる：分位数差については、ブラウン運動ブリッジを用いて正規分布への収束を導出する。相互ES差および相互expectile差については、ブラウン運動の経路に沿った積分を用いる。
• ShorackとWellner（2009）およびKrätschmerとZähle（2017）の結果を用いて、経験的推定量の明示的な漸近分散を導出する。σ²_Q、σ²_ES、σ²_exの明示的公式を含む。
• S&P 500のリターン対数収益率を用いた経験的分析を行い、経済的状態ごとにばらつき尺度を比較し、2020年のFacebookとBerkshire Hathawayのリターン間に存在する確率的順序を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Expected Shortfall、expectile、Value-at-Riskによって誘導されるばらつき尺度を、単一の理論的枠組みで体系的に比較・統合することは可能か？
• RQ2 対称的かつ同モノトニックなばらつき尺度の数学的構造は何か？また、それらは相互Expected Shortfall差の混合として表現可能か？
• RQ3 相互Expected Shortfall差と相互expectile差によって誘導される確率的順序は、拡散順序とどのように関係するか？
• RQ4 これらのばらつき尺度の経験的推定量の漸近的性質（一貫性と正規性）は何か？
• RQ5 これらのばらつき尺度は、異なる経済的状態下でどのように振る舞い、導入された確率的順序のもとで時系列がどれほど比較可能か？

主な発見

• やや厳しい技術的条件のもとで、対称的かつ同モノトニックなばらつき尺度は、相互Expected Shortfall差の混合として特徴づけられ、根本的な構造的洞察を提供する。
• 相互分位数差、相互Expected Shortfall差、相互expectile差の経験的推定量は、いずれも漸近的に正規分布に従い、それぞれの明示的な漸近分散が導出されている。
• 相互分位数差については、ブラウン運動ブリッジ理論から導かれる漸近分散は σ²_Q = p(1−p)/g²(p) + p(1−p)/g²(1−p) − 2(1−p)²/(g(p)g(1−p)) である。
• 相互Expected Shortfall差については、ブラウン運動の共分散構造を含む二重積分で表される漸近分散 σ²_ES が与えられる： σ²_ES = (1/(1−p)²) × [∫∫_{[p,1]² ∪ [0,1−p]²} − 2∫∫_{[p,1]×[0,1−p]}] (s∧t − st)/(g(s)g(t)) dtds。
• 相互expectile差については、密度関数 f^ex_r,F(t) の積分と、共分散項 c^ex_p の積分が関与し、expectile推定量の漸近的正規性から導かれる。
• S&P 500のリターン対数収益率に対する経験的分析では、バブル、バブル後、危機の各状態で明確に異なるばらつきパターンが観察され、相互Expected Shortfall差は尾部リスクに対してより感受性が高かった。