[論文レビュー] Parametric normal form classification for Eulerian and rotational non-resonant double Hopf singularities

Majid Gazor, Ahmad Shoghi|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2018

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 39被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、Lie括弧法、時間スケーリング、ブロック行列解析を用いて、非共振二重ホーフィング特異性を有するEuler的および回転対称ベクトル場の新しいパラメトリック正規形分類を提示する。主な貢献は、構造的Euler的性質を保持し、任意の記号的係数を有する多入力系の安定な分岐解析と制御設計を可能にする、対称性を保つ無限段階正規形である。

ABSTRACT

In this paper we provide novel results on the infinite level normal form and orbital normal form classifications of nonlinear Eulerian and rotational vector fields with two pairs of non-resonant imaginary modes. We use the method of multiple Lie brackets and its extension along with time rescaling for orbital normal form classification. Furthermore, we apply two reduction techniques. The first is to use the radical Lie ideal of rotational vector fields and its corresponding quotient Lie algebra. The second technique is to employ a Schur complement block matrix type in Gaussian elimination and analysis of block matrices. The infinite level parametric normal form classification are also presented. The latter is also viewed as a normal form result for multiple-input controlled systems with non-resonant double Hopf singularity. We also discuss nonlinear symmetry transformations associated with the nonlinear symmetry group of the simplest normal forms. Symbolic normal form transformation generators are derived for computer algebra implementation. Further, the results are efficiently implemented and verified using Maple for all three types of normal form computations up to arbitrary degree, where they can also include both small bifurcation parameters and arbitrary symbolic constant coefficients.

研究の動機と目的

• 非共振二重ホーフィング特異性を有するEuler的および回転ベクトル場の、対称性を保つ正規形分類を開発すること。
• Euler的構造的対称性を破壊し、動的挙動を歪めてしまう、切り捨てられた古典的正規形の限界を解消すること。
• 非共振二重ホーフィング特異性を有する多入力制御系の普遍的アンフォールディングとして機能する、パラメトリック正規形フレームワークを提供すること。
• 小分岐パラメータおよび記号的係数を含み、任意の次数まで正規形を計算可能な、記号的コンピュータ代数実装を可能にすること。
• Mapleなどの計算代数システムへの実装を目的とした、正規形変換の記号的生成子を導出すること。

提案手法

• 複数のLie括弧法の応用および、軌道的および無限段階正規形分類への拡張。
• 回転対称性が存在する状況下での軌道的正規形分類を容易にするために、時間スケーリングの使用。
• 回転ベクトル場の根拠となるLie理想およびその商代数を用いて分類を簡略化。
• 正規形計算におけるブロック行列解析に、Schur補行列技術およびガウスの消去法を活用。
• Mapleなどの計算代数システムへの実装を目的とした、記号的正規形変換生成子の導出。
• すべての正規化ステップを通じて構造的対称性を保つ、パラメトリック正規形フレームワークの開発。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非共振二重ホーフィング特異性を有する非線形Euler的および回転系の無限段階正規形は、どのようにして構造的対称性を保ちながら分類可能か？
• RQ2 多入力系の非共振二重ホーフィング特異性のパラメトリック正規形は何か？ そして、それはどのようにして普遍的アンフォールディングとして機能するか？
• RQ3 正規形分類は、現実世界の制御応用における小さな摂動や誤差に対して、どのようにしてロバストに保たれるか？
• RQ4 任意の次数まで正規形を効率的に計算可能な、どのような記号的変換生成子が導出可能か？
• RQ5 最も単純な正規形の非線形対称変換は、パラメトリック正規形の構造とどのように関係するか？

主な発見

• 系の無限段階正規形は一意に定まり、$\dot{z_i} = \sum_{j+k=0}^{2} c^i_{j,k}|z_1|^{2j}|z_2|^{2k}z_i + \sum_{k\geq 3} c^i_{0,k}|z_2|^{2k}z_i$ の形を取り、$c^i_{j,k} = b_{j,k} + I a^i_{j,k}$ で表される。この形はEuler的構造を保っている。
• 係数 $b_{2,1}$ および $b_{1,2}$ は、$\omega_1, \omega_2$ および非線形結合項 $a_i$ を含むシステムパラメータの関数として明示的に導出され、周波数比および対称性パラメータに複素有理関数的依存を示す。
• パラメトリック正規形は、元の系の普遍的アンフォールディングであることが示され、小さな摂動下でも安定な分岐解析と制御設計を可能にする。
• 本手法は、正規化の全過程においてEuler的および回転対称性を的確に保持しており、切り捨てられた古典的正規形で一般的に生じる構造的歪みを回避している。
• 記号的正規形生成子はMapleに実装され、記号的係数および小分岐パラメータを含む、任意の次数までの正規形計算が可能である。
• 結果は記号的計算により検証され、高次正規形解析に向けた提案フレームワークの実現可能性と正確性が示された。